Enunciado

En el modelo de Reddy Mikks, suponga que se produce un tercer tipo de pintura, llamada marina. Los requerimientos por tonelada de las materias primas $M1$ y $M2$ son $.5$ y $.75$ toneladas, respectivamente. La demanda diaria de la nueva pintura oscila entre $.5$ toneladas y $1.5$ toneladas, y la utilidad por tonelada es de $\$3.5$ (mil). Modifique el modelo de Excel Solver (solverRM2.xls) y el modelo AMPL (amplRM2.txt) para tener en cuenta la nueva situación y determinar la solución óptima. Compare el esfuerzo adicional asociado con cada modificación.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 16

Definimos variables de decisión (toneladas por día): $x_1$ = pintura 1 (interior), $x_2$ = pintura 2 (exterior), $x_3$ = pintura marina. Todas representan “cuánto producimos”. El modelo estándar de Reddy Mikks normalmente aparece como:$$\begin{aligned}\max \, z &= 5x_1 + 4x_2 & 6x_1 + 4x_2 &\le 24 \; (M1) \\ & & x_1 + 2x_2 &\le 6 \; (M2) \\ & & -x_1 + x_2 &\le 1 \\ & & x_2 &\le 2 \\ & & x_1, x_2 &\ge 0\end{aligned}$$

Paso 2 2 de 16

Agregamos la nueva variable: $x_3=\text{toneladas/día de pintura marina}$

Actualizamos la función objetivo sumando su utilidad: $$\max z=5x_1+4x_2+3.5x_3$$

Paso 3 3 de 16

Función objetivo (maximizar utilidad): $$z=5x_1+4x_2+3.5x_3$$ porque las utilidades unitarias son $\$5$,$\$4$ y $\$3.5$ por tonelada.

Paso 4 4 de 16

Restricción de materia prima $M1$ (máximo $24$ toneladas disponibles): $$6x_1+4x_2+0.5x_3\le 24$$ Cada tonelada usa $6$, $4$ y $0.5$ toneladas de $M1$, respectivamente.

Paso 5 5 de 16

Restricción de materia prima $M2$ (máximo $6$ toneladas disponibles): $$x_1+2x_2+0.75x_3\le 6$$ Cada tonelada usa $1$, $2$ y $0.75$ toneladas de $M2$, respectivamente.

Paso 6 6 de 16

Restricciones de demanda de los productos originales (como en el modelo base): $$-x_1+x_2\le 1,\qquad x_2\le 2$$ Estas limitan combinaciones/demanda máxima del producto 2.

Paso 7 7 de 16

Restricciones de demanda para la nueva pintura marina: $$0.5\le x_3\le 1.5$$ La producción debe estar entre el mínimo y el máximo que el mercado puede absorber.

Paso 8 8 de 16

No negatividad: $$x_1\ge 0,\quad x_2\ge 0$$ (y $x_3$ ya queda no negativa por $x_3\ge 0.5$).

Paso 9 9 de 16

Para hallar el óptimo, observamos que conviene llevar $x_3$ a su máximo porque tiene utilidad positiva ($3.5$) y además consume poco $M1$ y moderado $M2$. Probamos con $x_3=1.5$ y hacemos que se “agoten” $M1$ y $M2$ (punto esquina).

Paso 10 10 de 16

Sustituyendo $x_3=1.5$ en $M1$ y $M2$: $$6x_1+4x_2+0.5(1.5)=24\;\Rightarrow\;6x_1+4x_2=23.25$$ $$x_1+2x_2+0.75(1.5)=6\;\Rightarrow\;x_1+2x_2=4.875$$

Paso 11 11 de 16

Resolvemos el sistema: De $x_1=4.875-2x_2$. Sustituyendo en $6x_1+4x_2=23.25$: $$6(4.875-2x_2)+4x_2=23.25$$ $$29.25-12x_2+4x_2=23.25\Rightarrow -8x_2=-6\Rightarrow x_2=0.75$$

Paso 12 12 de 16

Entonces: $$x_1=4.875-2(0.75)=3.375$$

Paso 13 13 de 16

Verificamos las otras restricciones: $$-x_1+x_2=-3.375+0.75=-2.625\le 1$$ $$x_2=0.75\le 2$$ $$x_3=1.5\in[0.5,1.5]$$

Paso 14 14 de 16

Todo es factible. Calculamos la utilidad: $$z=5(3.375)+4(0.75)+3.5(1.5)=16.875+3+5.25=25.125$$

Paso 15 15 de 16

Interpretación práctica (para modificar Excel y AMPL):
- Agregar una nueva variable $x_3$.
- Agregar sus coeficientes ($0.5$ y $0.75$) en las 2 restricciones de recursos.
- Agregar su contribución $3.5x_3$ en la función objetivo.
- Agregar las cotas $0.5\le x_3\le 1.5$ (como dos restricciones o como límites en Solver/AMPL).

Resultado 16 de 16

Comparación de esfuerzo:

- En Excel Solver: hay que insertar una nueva celda de decisión, actualizar fórmulas de recursos y objetivo, y añadir dos restricciones (o límites) para $x_3$.

- En AMPL: basta cambiar $n$ a $3$ y agregar el tercer componente en $c[j]$ y en la matriz $a[i,j]$, más las cotas de $x_3$ (por ejemplo, como restricciones o límites de variable).