Ejercicio 29

Como el lado derecho es una raíz cuadrada, siempre es $\ge 0$. Por eso debe cumplirse $x\ge 0$.

Partimos de $$x=\sqrt{3-\frac{x}{2}}$$

Para eliminar la raíz, elevamos al cuadrado ambos lados.

$$x^{2}=\left(\sqrt{3-\frac{x}{2}}\right)^{2}$$

$$x^{2}=3-\frac{x}{2}$$

Quitamos el denominador multiplicando por $2$.

$$2x^{2}=6-x$$

Pasamos todo al mismo lado.

$$2x^{2}+x-6=0$$

Usamos fórmula cuadrática con $a=2$, $b=1$, $c=-6$.

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4(2)(-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{4}=\frac{-1\pm 7}{4}$$

Los candidatos son $$x_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{-8}{4}=-2.$$

Pero como debe cumplirse $x\ge 0$, se descarta $x=-2$.

$$\boxed{\{3/2\}}$$