Enunciado
Utilice el modelo DA-OA dinámico para hallar la inflación únicamente en función de la inflación retardada y las perturbaciones de oferta y demanda (suponga que la inflación objetivo es constante).
- Según la ecuación que ha obtenido, ¿retorna la inflación a su objetivo después de la perturbación? Explique su respuesta (pista: observe el coeficiente de la inflación retardada).
- b) Suponga que el banco central no responde a las variaciones de la producción, sino solo a las variaciones de la inflación, por lo que $\theta_y=0$. ¿CambiarÃa este hecho su respuesta a la parte a)? En caso afirmativo, ¿cómo?
- Suponga que el banco central no responde a las variaciones de la inflación, sino solo a las variaciones de la producción, por lo que $\theta_{\pi}=0$. ¿CambiarÃa este hecho su respuesta a la parte a)? En caso afirmativo, ¿cómo?
- Suponga que el banco central no sigue el principio de Taylor, sino que solo sube el tipo de interés nominal $0{,}8$ puntos porcentuales por cada aumento de la inflación de un punto porcentual. En este caso, ¿cuál es el valor de $\theta_{\pi}$? ¿Cómo influye una perturbación de la demanda o de la oferta en la senda de la inflación?
Solución Paso a Paso
Tomamos la versión estándar del modelo DA-OA dinámico (brecha de producción $y_t\equiv Y_t-\bar{Y}_t$):
DA (IS): $$y_t=-a\,(r_t-\rho)+\varepsilon_t,$$ con $r_t=i_t-\pi_t$.
OA (Phillips): $$\pi_t=\pi_{t-1}+\kappa\,y_t+u_t$$
Regla monetaria (Taylor): $$i_t=\pi_t+\rho+\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\theta_y\,y_t,$$ con $\pi^*$ constante.
Pasamos la regla a tipo real: $$r_t=i_t-\pi_t=\rho+\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\theta_y\,y_t$$
Sustituimos $r_t$ en la DA:
$$\begin{aligned}y_t&=-a\big((\rho+\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\theta_y y_t)-\rho\big)+\varepsilon_t \\ &= -a\big(\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\theta_y y_t\big)+\varepsilon_t\end{aligned}$$
Juntamos términos en $y_t$ y despejamos:
$$\begin{aligned}y_t+a\theta_y y_t&=-a\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\varepsilon_t \\ y_t(1+a\theta_y)&=-a\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\varepsilon_t \\ y_t&=\frac{-a\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\varepsilon_t}{1+a\theta_y}\end{aligned}$$
Sustituimos este $y_t$ en la Phillips:
$$\pi_t=\pi_{t-1}+\kappa\,\frac{-a\theta_{\pi}(\pi_t-\pi^*)+\varepsilon_t}{1+a\theta_y}+u_t$$
Definimos $$\lambda\equiv\frac{\kappa a\theta_{\pi}}{1+a\theta_y}$$ para abreviar y reordenamos para dejar $\pi_t$ sola.
Al expandir queda: $$\pi_t=\pi_{t-1}-\lambda(\pi_t-\pi^*)+\frac{\kappa}{1+a\theta_y}\varepsilon_t+u_t$$
Pasamos $-\lambda\pi_t$ al lado izquierdo:
$$\begin{aligned}\pi_t+\lambda\pi_t&=\pi_{t-1}+\lambda\pi^*+\frac{\kappa}{1+a\theta_y}\varepsilon_t+u_t \\ (1+\lambda)\pi_t&=\pi_{t-1}+\lambda\pi^*+\frac{\kappa}{1+a\theta_y}\varepsilon_t+u_t\end{aligned}$$
Finalmente dividimos entre $(1+\lambda)$:
$$\pi_t=\frac{1}{1+\lambda}\,\pi_{t-1}+\frac{\lambda}{1+\lambda}\,\pi^*+\frac{\kappa}{(1+a\theta_y)(1+\lambda)}\,\varepsilon_t+\frac{1}{1+\lambda}\,u_t$$
Si $\theta_y=0$, entonces el denominador $1+a\theta_y$ pasa a ser $1$, asà que
$$\lambda=\frac{\kappa a\theta_{\pi}}{1+a\theta_y}=\kappa a\theta_{\pi}$$
El coeficiente de la inflación retardada queda
$$\alpha=\frac{1}{1+\kappa a\theta_{\pi}}$$
Mientras $\theta_{\pi}>0$, sigue siendo $0<\alpha<1$, asà que la inflación igualmente vuelve a $\pi^*$ cuando desaparecen los shocks.
Lo que sà cambia es la velocidad de convergencia: al quitar la reacción a $y_t$, se elimina el término $(1+a\theta_y)$ del denominador, y la respuesta de la polÃtica al exceso de demanda/sobrecalentamiento se vuelve menos directa.
En esta ecuación, la rapidez depende del tamaño de $\kappa a\theta_{\pi}$: cuanto mayor sea, más pequeño es $\alpha$ y más rápido se acerca $\pi_t$ a $\pi^*$.
$$\boxed{\text{No cambia la conclusión (vuelve a }\pi^*\text{ si }\theta_{\pi}>0),\text{ pero cambia }\lambda\text{ y por tanto la rapidez de convergencia: }\alpha=\frac{1}{1+\kappa a\theta_{\pi}}.}$$