Enunciado
La forma diferencial de la conducción es $$\frac{dQ}{dt}=KA\frac{dT}{dx}$$ Aunque esta forma se dio para conducción unidireccional a través de un área plana $A$, también es aplicable en otros casos.
Por ejemplo, el calor puede fluir radialmente hacia el exterior desde un pequeño objeto esférico caliente. En este caso, $r$ reemplaza a $x$ y $4\pi r^2$ sustituye a $A$
Demuestre que la diferencia de temperatura correspondiente a las distancias $r_1$ y $r_2$ desde el objeto está dada por:
$$T_1-T_2=\left(\frac{dQ}{dt}\right)\frac{1}{4\pi K}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$
Solución Paso a Paso
Para conducción radial en estado estable desde una esfera, el calor por unidad de tiempo $\dot Q=\frac{dQ}{dt}$ es el mismo a cualquier radio $r$.
En una esfera de radio $r$, el área por donde pasa el calor es:$$A(r)=4\pi r^2$$
La ley de Fourier en forma diferencial para flujo radial (magnitudes) es:$$\dot Q=K\,A(r)\left(-\frac{dT}{dr}\right)$$
Sustituimos $A(r)=4\pi r^2$:$$\dot Q=K(4\pi r^2)\left(-\frac{dT}{dr}\right)$$
Despejamos $dT$:$$-\frac{dT}{dr}=\frac{\dot Q}{4\pi K}\frac{1}{r^2}$$
$$dT=-\frac{\dot Q}{4\pi K}\frac{1}{r^2}\,dr$$
Integramos desde $r_1$ (temperatura $T_1$) hasta $r_2$ (temperatura $T_2$):$$\int_{T_1}^{T_2}dT=-\frac{\dot Q}{4\pi K}\int_{r_1}^{r_2}\frac{1}{r^2}\,dr$$
La integral izquierda es $T_2-T_1$. La derecha:$$\int\frac{1}{r^2}dr=\int r^{-2}dr=-\frac{1}{r}$$
Entonces:$$T_2-T_1=-\frac{\dot Q}{4\pi K}\left[-\frac{1}{r}\right]_{r_1}^{r_2}=-\frac{\dot Q}{4\pi K}\left(-\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_1}\right)$$
Multiplicamos por $-1$ para obtener $T_1-T_2$:$$T_1-T_2=\frac{\dot Q}{4\pi K}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)$$
$$\boxed{T_1-T_2=\left(\frac{dQ}{dt}\right)\frac{1}{4\pi K}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)}$$