Ejercicio 46

Una barra metálica de longitud $L$ a la temperatura de $0^\circ C$ se calienta no uniformemente, de manera que la temperatura expresada en función de la distancia $x$ medida sobre su longitud, desde un extremo, es:

$$T(x)=T_0\text{sen}\left(\frac{\pi x}{L}\right)$$

De acuerdo con esto, los extremos en $x=0$ y $x=L$ están a la temperatura cero, en tanto que en $x=L/2$, donde el argumento de la función seno es $\pi/2$, la temperatura tiene el valor máximo $T_0$.

El coeficiente de dilatación lineal de la barra es $\alpha$.

Calcule el aumento de la longitud de la barra en función de $\alpha$ y de $T_0$.

Observación: ¿Cuál es la temperatura media de la barra?