Enunciado
Evalúe la probabilidad de que una molécula de un gas ideal tenga una velocidad mayor que la velocidad más probable obtenida en el ejercicio anterior.
Sugerencia: use la distribución de Maxwell y utilice una expansión/ayuda numérica para obtener un valor.
Solución Paso a Paso
La distribución de velocidades (rapidez) de Maxwell puede escribirse como:$$f(v)=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\,\frac{v^2}{a^3}\,e^{-v^2/a^2}$$
donde:$$a=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$$
En el ejercicio anterior se demostró que la velocidad más probable es:$$u=a=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$$
La probabilidad de que $v$ sea mayor que $u$ es el área bajo la curva desde $u$ hasta infinito:$$P(v>u)=\int_{u}^{\infty} f(v)\,dv$$
Hacemos el cambio de variable adimensional:$$x=\frac{v}{a}\quad\Rightarrow\quad v=ax,\ \ dv=a\,dx$$
Sustituimos en $f(v)$:$$f(v)dv=\frac{4}{\sqrt{\pi}}\,x^2e^{-x^2}\,dx$$
Entonces:$$P(v>u)=\int_{1}^{\infty}\frac{4}{\sqrt{\pi}}\,x^2e^{-x^2}\,dx$$
Esta integral no tiene una forma elemental simple, pero se evalúa numéricamente.
Al calcularla se obtiene aproximadamente:$$P(v>u)\approx 0.572$$
Interpretación: como la distribución es asimétrica (cola larga a la derecha), más de la mitad de las moléculas están por encima de $u$.
$$\boxed{P(v>u)\approx 0.572}$$