Enunciado

Se lleva aire por un ciclo de Carnot que comienza en un volumen de $4\,L$, presión $2\,atm$ y temperatura $320\,K$. Los procesos son: (a) compresión adiabática hasta la temperatura de $500\,K$, (b) expansión isotérmica, (c) expansión adiabática y (d) compresión isotérmica para cerrar el ciclo. Grafique en un diagrama $P$-$V$ y calcule el trabajo neto efectuado por el gas. Suponga que el aire se comporta como gas ideal.

Solución

Verificado
Paso 1 1 de 16

Para la gráfica use este contenedor:

y el script está en la columna JSXGraph.

Paso 2 2 de 16

Estado inicial $A$: $P_1=2\,atm$, $V_1=4\,L$, $T_1=320\,K$.

Paso 3 3 de 16

Hallamos los moles con $PV=nRT$ (con $R=0.082057\,\text{L·atm/(mol·K)}$):$$n=\frac{P_1V_1}{RT_1}=\frac{(2)(4)}{(0.082057)(320)}\approx 0.3047\,mol$$

Paso 4 4 de 16

Proceso (a) $A\to B$ adiabático: para gas ideal se cumple $TV^{\gamma-1}=\text{cte}$, con $\gamma\approx 1.4$ para aire.

Paso 5 5 de 16

Con $T_A=320$ y $T_B=500$:$$V_B=V_A\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}=4\left(\frac{320}{500}\right)^{\frac{1}{0.4}}\approx 1.3107\,L$$

Paso 6 6 de 16

Presión en $B$:$$P_B=\frac{nRT_B}{V_B}\approx \frac{(0.3047)(0.082057)(500)}{1.3107}\approx 9.537\,atm$$

Paso 7 7 de 16

Proceso (b) $B\to C$ isotérmico a $500\,K$ hasta $V_C=16\,L$:$$P_C=\frac{nRT_B}{V_C}\approx \frac{(0.3047)(0.082057)(500)}{16}\approx 0.7813\,atm$$

Paso 8 8 de 16

Proceso (c) $C\to D$ adiabático de $500\,K$ a $320\,K$: usando $TV^{\gamma-1}=\text{cte}$:$$V_D=V_C\left(\frac{T_C}{T_D}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}=16\left(\frac{500}{320}\right)^{\frac{1}{0.4}}\approx 48.83\,L$$

Paso 9 9 de 16

Presión en $D$:$$P_D=\frac{nRT_D}{V_D}\approx \frac{(0.3047)(0.082057)(320)}{48.83}\approx 0.16384\,atm$$

Paso 10 10 de 16

Trabajo neto del ciclo de Carnot: $W_{net}=Q_h-Q_f$.

Paso 11 11 de 16

En isotérmica reversible, $Q=W=nRT\ln(V_2/V_1)$.

Paso 12 12 de 16

Calor absorbido en la isoterma caliente ($B\to C$):$$Q_h=nRT_h\ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)\approx (0.3047)(0.082057)(500)\ln\left(\frac{16}{1.3107}\right)\approx 31.28\,\text{L·atm}$$

Paso 13 13 de 16

Calor cedido en la isoterma fría ($D\to A$, a $320\,K$):$$Q_f=nRT_f\ln\left(\frac{V_D}{V_A}\right)\approx (0.3047)(0.082057)(320)\ln\left(\frac{48.83}{4}\right)\approx 20.02\,\text{L·atm}$$

Paso 14 14 de 16

Entonces:$$W_{net}=Q_h-Q_f\approx 11.26\,\text{L·atm}$$

Paso 15 15 de 16

En joules ($1\,\text{L·atm}=101.325\,J$):$$W_{net}\approx 11.26(101.325)\approx 1.14\times10^{3}\,J$$

Resultado 16 de 16

$$\boxed{W_{net}\approx 1.14\times10^{3}\,J}$$