Enunciado
Se acelera un bloque de $12.0\,\text{kg}$ hacia arriba de un plano áspero inclinado $30^{\circ}$ con respecto a la horizontal mediante una fuerza de $120\,\text{N}$ dirigida horizontalmente. El coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es $0.20$. Encuentre la magnitud de la aceleración del bloque.
Solución Paso a Paso
Datos: $m=12.0\,\text{kg}$, plano con $\theta=30^{\circ}$, fuerza horizontal $F=120\,\text{N}$, $\mu=0.20$.
Elegimos eje paralelo al plano (positivo hacia arriba del plano). Luego descomponemos la fuerza horizontal $F$ respecto al plano.
La componente paralela al plano es $F_{\parallel}=F\cos\theta=120\cos30^{\circ}\approx 103.92\,\text{N}$ (hacia arriba del plano).
La componente perpendicular empuja contra el plano: $F_{\perp}=F\sin\theta=120\sin30^{\circ}=60\,\text{N}$.
La normal es la suma de componentes hacia el plano: $N=mg\cos\theta+F_{\perp}$.
Calculamos $mg\cos30^{\circ}=12(9.8)(0.866)=101.82\,\text{N}$, asà $N=101.82+60=161.82\,\text{N}$.
La fricción cinética vale $f=\mu N=0.20(161.82)=32.36\,\text{N}$ y va cuesta abajo.
La gravedad paralela es $mg\sin\theta=12(9.8)\sin30^{\circ}=58.8\,\text{N}$ (cuesta abajo).
Segunda ley en el eje del plano: $F_{\parallel}-mg\sin\theta-f=ma$.
Entonces $$a=\frac{103.92-58.8-32.36}{12}\approx 1.06\,\text{m/s}^2$$ $$\boxed{a\approx 1.06\,\text{m/s}^2}$$