Enunciado

Determine el momento de inercia de una esfera uniforme, de masa $m$ y radio $R$, respecto a un eje que pasa por su centro. Use elementos de volumen como los indicados en la figura.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 13

Queremos $I$ de una esfera maciza uniforme alrededor de un diámetro (eje por el centro).

Paso 2 2 de 13

Cortamos la esfera en discos delgados perpendiculares al eje, de espesor $dx$.

Paso 3 3 de 13

A una distancia $x$ del centro, el disco tiene radio $$r=\sqrt{R^2-x^2}$$

Paso 4 4 de 13

Para un disco macizo, $$dI=\frac12 r^2\,dm$$

Paso 5 5 de 13

Con densidad uniforme $\rho$, $$dm=\rho\,dV=\rho\,\pi r^2dx$$

Paso 6 6 de 13

Sustituimos: $$dI=\frac12 r^2(\rho\pi r^2dx)=\frac12\rho\pi r^4dx$$

Paso 7 7 de 13

Como $r^2=R^2-x^2$, entonces $r^4=(R^2-x^2)^2$.

Paso 8 8 de 13

Integramos de $-R$ a $R$: $$I=\frac12\rho\pi\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)^2dx$$

Paso 9 9 de 13

El resultado de esa integral es $$\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)^2dx=\frac{16}{15}R^5$$

Paso 10 10 de 13

Entonces $$I=\frac12\rho\pi\frac{16}{15}R^5=\frac{8}{15}\rho\pi R^5$$

Paso 11 11 de 13

La masa de la esfera es $$m=\rho\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow \rho\pi R^3=\frac{3m}{4}$$

Paso 12 12 de 13

Sustituimos: $$I=\frac{8}{15}\left(\frac{3m}{4}\right)R^2=\frac{2}{5}mR^2$$

Resultado 13 de 13

$$\boxed{I=\frac{2}{5}mR^2}$$