Enunciado
Un émbolo o pistón se mueve verticalmente hacia arriba y hacia abajo con frecuencia $f$ y amplitud $A$. En la parte superior del émbolo se coloca una moneda. ¿Para qué valor de $f$ la moneda pierde contacto con el pistón cuando llega éste al límite superior de su carrera?
Solución Paso a Paso
Modelamos el movimiento del pistón como M.A.S. vertical. Tomamos hacia arriba como positivo:$$y(t)=A\cos(\omega t)$$ (así, en el límite superior $y=+A$).
La aceleración es la segunda derivada:$$a(t)=\ddot y(t)=-\omega^2A\cos(\omega t)$$
En el límite superior, $\cos(\omega t)=1$, entonces:$$a_{\text{arriba}}=-\omega^2A$$ Esto significa aceleración hacia abajo con magnitud $\omega^2A$.
La moneda pierde contacto cuando la fuerza normal se vuelve cero. En ese instante, la moneda solo puede “caer” con gravedad $g$.
Condición de desprendimiento (umbral): la aceleración hacia abajo del pistón iguala a $g$:$$\omega^2A=g$$
Despejamos $\omega$ y luego $f$:$$\omega=\sqrt{\frac{g}{A}},\quad f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{A}}$$
$$\boxed{f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{A}}}$$