Enunciado

(a) ¿Cuánto trabajo debe efectuarse para formar el dipolo del problema anterior?

(b) Suponiendo que el vector del momento dipolar se orienta en la dirección $z$, ¿qué trabajo se necesita para mover una carga de $-1.00\times 10^{-6}\,\text{C}$ desde el punto $x=z=0.0050\,\text{m}$, $y=0$, hasta el infinito, sobre la recta $x=z$?

(c) ¿Qué trabajo se requiere para mover una carga de $-1.00\times 10^{-6}\,\text{C}$ desde el punto $x=z=0.050\,\text{m}$, $y=0$, hasta el infinito, a lo largo de la recta $x=z$?

(d) Determine las respuestas a (b) y (c) si la carga se moviera al infinito a lo largo de una recta paralela al eje $z$

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 14

Usamos el dipolo del problema anterior: dos cargas $+q$ y $-q$ con $q=1.00\times 10^{-6}\,\text{C}$ separadas por $d=0.0100\,\text{m}$. Tomamos $V(\infty)=0$.

Paso 2 2 de 14

(a) Trabajo para formar el dipolo: al traer las cargas desde infinito hasta separación $d$, la energía potencial final es$$U(d)=k\,\frac{(+q)(-q)}{d}=-k\,\frac{q^2}{d}$$

Paso 3 3 de 14

En el infinito $U(\infty)=0$, entonces el trabajo externo mínimo es $$W_{\text{ext}}=\Delta U=U(d)-0=-k\frac{q^2}{d}$$

Paso 4 4 de 14

Sustituyendo:$$W_{\text{ext}}\approx -(8.99\times 10^9)\frac{(10^{-6})^2}{0.0100}\approx -8.99\times 10^{-1}\,\text{J}$$

Paso 5 5 de 14

El signo negativo significa que el campo eléctrico hace trabajo positivo: al juntarse cargas opuestas, el sistema libera energía.

Paso 6 6 de 14

Para (b)–(d) colocamos el dipolo centrado en el origen y orientado en $z$: $+q$ en $z=+d/2=+0.0050$ y $-q$ en $z=-0.0050$.

Paso 7 7 de 14

El potencial en un punto $(x,y,z)$ es$$V=k\left(\frac{+q}{r_+}+\frac{-q}{r_-}\right)=kq\left(\frac{1}{r_+}-\frac{1}{r_-}\right)$$con $r_+=\sqrt{x^2+y^2+(z-0.0050)^2}$ y $r_-=\sqrt{x^2+y^2+(z+0.0050)^2}$.

Paso 8 8 de 14

El trabajo externo para llevar una carga $q_0$ al infinito es $$W_{\text{ext}}=q_0\left[V(\infty)-V(\text{inicio})\right]=-q_0V_i$$ porque $V(\infty)=0$.

Paso 9 9 de 14

(b) Punto inicial $(x,y,z)=(0.0050,0,0.0050)$. Se obtiene (evaluando $r_+$ y $r_-$): $$V_i\approx 9.94\times 10^{5}\,\text{V}$$

Paso 10 10 de 14

Con $q_0=-1.00\times 10^{-6}\,\text{C}$:$$W_{\text{ext}}=-q_0V_i=(10^{-6})(9.94\times 10^{5})\approx 9.94\times 10^{-1}\,\text{J}$$

Paso 11 11 de 14

(c) Punto inicial $(0.050,0,0.050)$. Se obtiene $$V_i\approx 1.27\times 10^{4}\,\text{V}$$

Paso 12 12 de 14

Entonces $$W_{\text{ext}}\approx (10^{-6})(1.27\times 10^{4})\approx 1.27\times 10^{-2}\,\text{J}$$

Paso 13 13 de 14

(d) En electrostática, el trabajo no depende de la trayectoria, solo de los puntos inicial y final, porque $$W_{\text{ext}}=q_0\Delta V$$ Por eso, mover al infinito por una recta paralela a $z$ da los mismos resultados que en (b) y (c).

Resultado 14 de 14

$$\boxed{\text{(a) }W_{\text{ext}}\approx -8.99\times 10^{-1}\,\text{J};\, \text{(b) }W_{\text{ext}}\approx 9.94\times 10^{-1}\,\text{J};\, \text{(c) }W_{\text{ext}}\approx 1.27\times 10^{-2}\,\text{J};\, \text{(d) iguales a (b) y (c).}}$$