Enunciado
Se conoce el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. ¿Cómo determinar a partir de este campo la cantidad de carga contenida en un volumen prescrito?
Solución Paso a Paso
Si conocemos $\vec E$ en cada punto, podemos usar la ley de Gauss para relacionar $\vec E$ con la carga encerrada.
Elegimos una superficie cerrada $S$ que sea exactamente la frontera del volumen $V$ que nos interesa.
Calculamos el flujo eléctrico a través de esa superficie:$$\Phi_E=\oint_S \vec E\cdot d\vec A$$
Aplicamos Gauss:$$\Phi_E=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$$
Entonces la carga neta dentro del volumen es$$Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0\oint_S \vec E\cdot d\vec A$$
Si en vez de carga total queremos la densidad de carga en cada punto, usamos la forma diferencial (Gauss en forma local):$$\nabla\cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
AsÃ, $$\rho=\varepsilon_0(\nabla\cdot \vec E)$$ y luego la carga total también se obtiene integrando:$$Q=\iiint_V \rho\,dV$$
Ambos métodos son equivalentes: integral de flujo sobre la frontera o integral de densidad dentro del volumen.
$$\boxed{Q_{\text{enc}}=\varepsilon_0\oint_S \vec E\cdot d\vec A\;\;\text{(o bien }\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\vec E\text{ y }Q=\iiint_V\rho\,dV\text{)}}$$