Enunciado

Una matriz cuadrada se denomina antisimétrica si $A^{t}=-A$ (esto es, $a_{ij}=-a_{ji}$). ¿Cuáles de las siguientes matrices son antisimétricas?

a) $\begin{bmatrix}1&-6\\6&0\end{bmatrix}$    b) $\begin{bmatrix}0&-6\\6&0\end{bmatrix}$    c) $\begin{bmatrix}2&-2&-2\\2&2&-2\\2&2&2\end{bmatrix}$    d) $\begin{bmatrix}0&1&0&-1\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1\\1&0&-1&0\end{bmatrix}$

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 6

Condiciones necesarias: (i) diagonal nula $a_{ii}=0$; (ii) $a_{ij}=-a_{ji}$ para todo $i\ne j$.

Paso 2 2 de 6

a) No es antisimétrica porque $a_{11}=1\ne0$.

Paso 3 3 de 6

b) Sí es antisimétrica: diagonal nula y $-6=-6$ (ya que $a_{12}=-6$ y $-a_{21}=-6$).

Paso 4 4 de 6

c) No es antisimétrica: la diagonal no es nula y, por ejemplo, $a_{12}=-2\ne -a_{21}=-2$ se cumple signada pero $a_{11}=2\ne0$.

Paso 5 5 de 6

d) Sí es antisimétrica: diagonal nula y se verifica $a_{ij}=-a_{ji}$ (por el patrón alternante mostrado).

Resultado 6 de 6

$$\boxed{\text{Antisimétricas: b) y d)}}$$