Ejercicio 14

Partimos de $$A=\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 3 & 7 & -1 & 2\\ \\ 4 & 1 & -3 & 8\end{bmatrix}$$

$R_3\leftarrow R_3-3/2\,\, R_1$ (no cambia $\det$):

$$\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 23/2 & -5/2 & -4\\ \\ 4 & 1 & -3 & 8\end{bmatrix}$$

$R_4\leftarrow R_4-2\,\, R_1$ (no cambia $\det$):

$$\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 23/2 & -5/2 & -4\\ \\ 0 & 7 & -5 & 0\end{bmatrix}$$

$R_3\leftarrow R_3--23/4\,\, R_2$ (no cambia $\det$):

$$\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & -5/2 & -4\\ \\ 0 & 7 & -5 & 0\end{bmatrix}$$

$R_4\leftarrow R_4--7/2\,\, R_2$ (no cambia $\det$):

$$\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & -5/2 & -4\\ \\ 0 & 0 & -5 & 0\end{bmatrix}$$

$R_4\leftarrow R_4-2\,\, R_3$ (no cambia $\det$):

$$\begin{bmatrix}2 & -3 & 1 & 4\\ \\ 0 & -2 & 0 & 0\\ \\ 0 & 0 & -5/2 & -4\\ \\ 0 & 0 & 0 & 8\end{bmatrix}$$

La matriz quedó triangular. Producto de la diagonal:

$$\det A=1\cdot2\cdot-2\cdot-5/2\cdot8=80$$

$$\boxed{\det A=80 }$$