Enunciado
Sea $\theta\in\mathbb{R}$. Demuestre que $$A=\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$$ es invertible y encuentre su inversa.
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 4
Calculamos el determinante:
$$\det(A)=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\neq0.$$
Paso 2 2 de 4
Luego $A$ es invertible. Como $A$ es ortogonal ($A^{\prime}A=I$), se tiene $A^{-1}=A^{\prime}$.
Paso 3 3 de 4
$$A^{-1}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}.$$
Resultado 4 de 4
$$\boxed{A^{-1}=\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}}$$