Ejercicio 04

Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta. Una forma práctica de verificarlo es comparar pendientes: si $m_{AB}=m_{AC}$ (y las pendientes están definidas), entonces $A,B,C$ están alineados.

(a) Calculamos la pendiente $m_{AB}$ usando $A(k,3)$ y $B(-4,-5-k)$:
$$m_{AB}=\frac{(-5-k)-3}{-4-k}=\frac{-8-k}{-4-k}$$
Factorizamos $-1$ arriba y abajo para simplificar:
$$m_{AB}=\frac{k+8}{k+4},\qquad (k\neq -4)$$

Calculamos la pendiente $m_{AC}$ usando $A(k,3)$ y $C(2k+1,8)$:
$$m_{AC}=\frac{8-3}{(2k+1)-k}=\frac{5}{k+1},\qquad (k\neq -1)$$

Imponemos colinealidad igualando pendientes:
$$\frac{k+8}{k+4}=\frac{5}{k+1}$$
Cruzamos:
$$(k+8)(k+1)=5(k+4)$$

Desarrollamos y resolvemos:
$$(k+8)(k+1)=k^2+9k+8$$
$$5(k+4)=5k+20$$

Entonces:
$$k^2+9k+8=5k+20 \quad \Rightarrow \quad k^2+4k-12=0$$

Resolvemos la cuadrática:
$$k^2+4k-12=0$$
Factoriza como:
$$(k-2)(k+6)=0$$

Por tanto:
$$k=2 \quad \text{o} \quad k=-6$$
Ambos valores son válidos porque no anulan $k+4$ ni $k+1$.

(b) Calculamos la pendiente $m_{AB}$ con $A(-1,k-6)$ y $B(2k-1,3)$:
$$m_{AB}=\frac{3-(k-6)}{(2k-1)-(-1)}=\frac{9-k}{2k},\qquad (k\neq 0)$$

Calculamos la pendiente $m_{AC}$ con $A(-1,k-6)$ y $C(-9,4-k)$:
$$m_{AC}=\frac{(4-k)-(k-6)}{-9-(-1)}=\frac{10-2k}{-8}=-\frac{10-2k}{8}=\frac{k-5}{4}$$

Igualamos pendientes:
$$\frac{9-k}{2k}=\frac{k-5}{4}$$
Cruzamos:
$$4(9-k)=2k(k-5)$$

Desarrollamos:
$$36-4k=2k^2-10k$$
Llevamos todo a un lado:
$$0=2k^2-10k-36+4k=2k^2-6k-36$$
Dividimos entre $2$:
$$0=k^2-3k-18$$

Factorizamos:
$$k^2-3k-18=(k-6)(k+3)$$

Por tanto: $$k=6 \quad \text{o} \quad k=-3$$
Ambos valores son válidos (no hacen $k=0$).