Enunciado

Dar la representación gráfica de la ecuación polar $r=2\text{sen}\,\theta\,\text{tg}\,\theta$, señalando simetrías, intersecciones, extensión, tangentes en el polo y una tabulación.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 10

Trabajamos con la ecuación polar $$r=2\text{sen}\,\theta\,\text{tg}\,\theta$$.

Paso 2 2 de 10

Simetría: Como $\text{tg}\,\theta=\dfrac{\text{sen}\,\theta}{\cos\theta}$, se puede escribir $$r=\frac{2\text{sen}^2\theta}{\cos\theta}$$.

Paso 3 3 de 10

Intersecciones con el polo ($r=0$): En el polo: ocurre cuando $\text{sen}\,\theta=0\Rightarrow \theta=0,\pi$ (pero allí también hay que cuidar $\cos\theta\ne0$)..

Paso 4 4 de 10

Intersecciones con ejes: No está definida cuando $\cos\theta=0$ ($\theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}$)..

Paso 5 5 de 10

Extensión (valores posibles de $r$): La extensión de $r$ no está acotada porque al acercarse a $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ el denominador tiende a $0$..

Paso 6 6 de 10

Tangentes en el polo: Tangentes en el polo: direcciones $\theta=0$ y $\theta=\pi$..

Paso 7 7 de 10

Una tabulación rápida (algunos ángulos) para dibujar es:

Paso 8 8 de 10
  • $\theta=0$, $r=0$
  • $\theta=\tfrac{\pi}{6}$, $r=2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{1}{\sqrt3}=\tfrac{1}{\sqrt3}$
  • $\theta=\tfrac{\pi}{3}$, $r=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt3=3$
  • $\theta=\tfrac{\pi}{2}$, $r=\text{no definida}$
Paso 9 9 de 10

$$\boxed{\text{Gráfica trazada en el plano polar (ver figura).}}$$

Resultado 10 de 10