Enunciado

Dos vértices de un triángulo son $A(-5,2)$ y $B(1,-3)$. Si la longitud de la mediana que pasa por $B$ es constante e igual a $4$, hallar la ecuación del lugar geométrico del vértice $C(x,y)$.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 10

Definición: una mediana de un triángulo une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Paso 2 2 de 10

Sea $C(x,y)$ el vértice móvil. El punto medio de $AC$ es:$$M=\left(\frac{x+(-5)}{2},\frac{y+2}{2}\right)=\left(\frac{x-5}{2},\frac{y+2}{2}\right)$$

Paso 3 3 de 10

La mediana por $B$ es el segmento $\overline{BM}$, y su longitud es $4$:$$BM=4$$

Paso 4 4 de 10

Usamos la fórmula de distancia entre $B(1,-3)$ y $M$:$$\left(\frac{x-5}{2}-1\right)^2+\left(\frac{y+2}{2}+3\right)^2=4^2$$

Paso 5 5 de 10

Simplificamos dentro de paréntesis:$$\frac{x-5-2}{2}=\frac{x-7}{2},\qquad \frac{y+2+6}{2}=\frac{y+8}{2}$$

Paso 6 6 de 10

Queda:$$\left(\frac{x-7}{2}\right)^2+\left(\frac{y+8}{2}\right)^2=16$$

Paso 7 7 de 10

Multiplicamos por $4$:$$(x-7)^2+(y+8)^2=64$$

Paso 8 8 de 10

Interpretación: es una circunferencia (lugar de puntos a distancia constante) con centro $(7,-8)$ y radio $8$.

Paso 9 9 de 10

Respuesta:$$\boxed{(x-7)^2+(y+8)^2=64.}$$

Resultado 10 de 10