Enunciado

Las rectas $\mathcal{L}_1:2x+3y-8=0$, $\mathcal{L}_2:x-9y-25=0$, $\mathcal{L}_3:5x-3y+1=0$ contienen a los lados de un triángulo. Determinar las coordenadas del ortocentro y el área de dicho triángulo.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 20

Si tres rectas contienen los lados de un triángulo, entonces los vértices son las intersecciones por pares de esas rectas.

Paso 2 2 de 20

Hallamos $A=\mathcal{L}_1\cap\mathcal{L}_2$ resolviendo $$\begin{cases}2x+3y-8=0\\ x-9y-25=0\end{cases}$$

Paso 3 3 de 20

De la segunda: $x=9y+25$. Sustituyendo en la primera: $2(9y+25)+3y-8=0\Rightarrow 21y+42=0\Rightarrow y=-2$ y $x=7$. Así $$A(7,-2)$$

Paso 4 4 de 20

Hallamos $B=\mathcal{L}_2\cap\mathcal{L}_3$ con $$\begin{cases}x-9y-25=0\\ 5x-3y+1=0\end{cases}$$

Paso 5 5 de 20

De la primera $x=9y+25$. Sustituimos: $5(9y+25)-3y+1=0\Rightarrow 42y+126=0\Rightarrow y=-3$ y $x=-2$. Así $$B(-2,-3)$$

Paso 6 6 de 20

Hallamos $C=\mathcal{L}_3\cap\mathcal{L}_1$ con $$\begin{cases}5x-3y+1=0\\ 2x+3y-8=0\end{cases}$$

Paso 7 7 de 20

Sumando ambas: $7x-7=0\Rightarrow x=1$. Luego en $2x+3y-8=0$: $2+3y-8=0\Rightarrow y=2$. Así $$C(1,2)$$

Paso 8 8 de 20

Para el área usamos la fórmula del determinante (o “shoelace”): $$\text{Área}=\frac12\left|\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\right|$$

Paso 9 9 de 20

Calculamos vectores: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-9,-1)$ y $\overrightarrow{AC}=C-A=(-6,4)$.

Paso 10 10 de 20

Determinante: $$\det\begin{pmatrix}-9&-1\\ -6&4\end{pmatrix}=(-9)(4)-(-1)(-6)=-36-6=-42$$

Entonces $$\text{Área}=\frac12|{-42}|=21$$

Paso 11 11 de 20

Ahora hallamos el ortocentro $H$. El ortocentro es la intersección de dos alturas (basta con dos).

Paso 12 12 de 20

La altura por $A$ es perpendicular al lado $BC$. Hallamos la pendiente de $BC$: $$m_{BC}=\frac{2-(-3)}{1-(-2)}=\frac{5}{3}$$

Paso 13 13 de 20

Entonces la altura por $A$ tiene pendiente $m_{hA}=-\frac{3}{5}$ y pasa por $A(7,-2)$: $$y+2=-\frac{3}{5}(x-7)$$

Paso 14 14 de 20

La altura por $B$ es perpendicular al lado $AC$. Pendiente de $AC$: $$m_{AC}=\frac{2-(-2)}{1-7}=-\frac{2}{3}$$

Paso 15 15 de 20

Entonces la altura por $B$ tiene pendiente $m_{hB}=\frac{3}{2}$ y pasa por $B(-2,-3)$: $$y+3=\frac{3}{2}(x+2)$$

Paso 16 16 de 20

Resolvemos la intersección de ambas alturas. De $y+3=\frac{3}{2}(x+2)$ se obtiene $y=\frac{3}{2}x$.

Paso 17 17 de 20

Sustituimos en $y+2=-\frac{3}{5}(x-7)$: $$\frac{3}{2}x+2=-\frac{3}{5}x+\frac{21}{5}$$

Paso 18 18 de 20

Multiplicando por $10$: $15x+20=-6x+42\Rightarrow 21x=22\Rightarrow x=\frac{22}{21}$. Luego $y=\frac{3}{2}\cdot\frac{22}{21}=\frac{11}{7}$.

Paso 19 19 de 20

Así, $$H\left(\frac{22}{21},\frac{11}{7}\right)$$ Concluimos: $$\boxed{\text{Ortocentro }H\left(\frac{22}{21},\frac{11}{7}\right), \quad \text{Área}=21\,u^2.}$$

Resultado 20 de 20