Enunciado

Si el sistema se traslada a un nuevo origen $O'(h,k)$, hallar un $O'$ para que las ecuaciones carezcan de término independiente: (i) $3x^2-18x-6y-53=0$, (ii) $x^2+y^2-6x+10y+9=0$.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 5

Al trasladar $x=X+h$, $y=Y+k$, el término independiente (constante) de la ecuación transformada es el valor de la ecuación original evaluada en $(h,k)$.

Por tanto, para que no haya término independiente basta elegir $(h,k)$ como un punto que pertenezca a la curva.

Paso 2 2 de 5

Para (i) elegimos un punto simple tomando $x=0$ en la ecuación:

$$3(0)^2-18(0)-6y-53=0\Rightarrow y=-\frac{53}{6}$$

Paso 3 3 de 5

Entonces un origen que elimina el término independiente es

$$O'_1\left(0,-\frac{53}{6}\right)$$

En el sistema trasladado, la ecuación tendrá constante $0$.

Paso 4 4 de 5

Para (ii) completamos cuadrados:

$$x^2-6x+y^2+10y+9=0$$

$$(x-3)^2-9+(y+5)^2-25+9=0\Rightarrow (x-3)^2+(y+5)^2=25$$

Resultado 5 de 5

Elegimos un punto evidente de la circunferencia, por ejemplo $(8,-5)$ (a 5 unidades del centro $(3,-5)$ sobre el eje $x$).

Entonces

$$O'_2(8,-5)$$