Enunciado
Curva en $XOY$: $2x^2+4xy-3x+4y-2=0$ y en $X'OY'$: $x'^2+2x'y'+4y'+1=0$. Hallar $O'(h,k)$.
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 6
Usamos $x=x'+h$, $y=y'+k$ y sustituimos en la ecuación original.
Paso 2 2 de 6
Al expandir se obtiene:
$$2x'^2+4x'y'+(4h+4k-3)x'+(4h+4)y'+(2h^2+4hk-3h+4k-2)=0$$
Paso 3 3 de 6
La ecuación en $X'OY'$ dada es $x'^2+2x'y'+4y'+1=0$; multiplicamos por $2$ para comparar coeficientes con la expansión:
$$2x'^2+4x'y'+8y'+2=0$$
Paso 4 4 de 6
Igualamos coeficiente de $y'$: $4h+4=8\Rightarrow h=1$.
Paso 5 5 de 6
Igualamos coeficiente de $x'$: $4h+4k-3=0\Rightarrow 4(1)+4k-3=0\Rightarrow k=-\frac14$.
Resultado 6 de 6
AsÃ,
$$\boxed{O'\left(1,-\frac14\right)}$$
La constante se ajusta según el miembro equivalente (puede diferir por un múltiplo constante si las ecuaciones se presentan en forma equivalente).