Enunciado

El sistema $XY$ se traslada a $(-2,1)$ y luego se rota un ángulo $\theta$, resultando $X'Y'$. En $X'Y'$ la recta $r$ es $y'=3x'-2$ y un punto del eje $Y'$ es $E(-4,5)$ en $XY$. Hallar en $XY$ la ecuación de $\ell_1$ (pendiente positiva) que forma $45^\circ$ con $r$ y pasa por el origen $O'$ del sistema $X'Y'$.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 11

Primero se traslada el origen a $O'(-2,1)$. Definimos

$$X=x+2,\qquad Y=y-1$$

Paso 2 2 de 11

Se nos dice que $E(-4,5)$ está sobre el eje $Y'$ positivo. Un punto del eje $Y'$ cumple $x'=0$.

Como $x'=X\cos\theta+Y\sin\theta$, imponemos esa condición para $E$.

Paso 3 3 de 11

Para $E$: $X_E=-2$, $Y_E=4$. Entonces

$$0=-2\cos\theta+4\sin\theta\Rightarrow \tan\theta=\frac12$$

Paso 4 4 de 11

Tomamos

$$\boxed{\theta=\arctan(1/2)},\qquad \cos\theta=\frac{2}{\sqrt5},\ \sin\theta=\frac{1}{\sqrt5}$$

Paso 5 5 de 11

En $X'Y'$ la recta $r$ es $y'=3x'-2$. Con

$$x'=X\cos\theta+Y\sin\theta,\qquad y'=-X\sin\theta+Y\cos\theta$$

sustituimos en $y'-3x'+2=0$ y luego reemplazamos $X=x+2$, $Y=y-1$.

Paso 6 6 de 11

Tras simplificar, la ecuación de $r$ en $XY$ resulta:

$$\frac{\sqrt{5} \left(1 - y\right)}{5} - \frac{7 \sqrt{5} \left(x + 2\right)}{5} + 2=0$$

Paso 7 7 de 11

La pendiente de $r$ en $XY$ es $m_r=-7$ (consistente con la transformación de pendientes).

Paso 8 8 de 11

Buscamos $\ell_1$ de pendiente positiva que forme $45^\circ$ con $r$ y pase por $O'(-2,1)$.

Si $m_1$ es su pendiente:

$$\tan45^\circ=\left|\frac{m_1-m_r}{1+m_1m_r}\right|=1$$

Paso 9 9 de 11

Sustituyendo $m_r=-7$ se obtiene la solución positiva

$$\boxed{m_1=\frac{4}{3}}$$

Paso 10 10 de 11

Ecuación de $\ell_1$ por punto-pendiente con $O'(-2,1)$:

$$y-1=\frac{4}{3}(x+2)$$

Resultado 11 de 11

Forma general:

$$\boxed{4x-3y+11=0}$$