Enunciado
¿Cuánto se tendrá en un fondo luego de $40$ aportaciones quincenales que crecen $3.5\%$ cada bimestre, si la primera fue por $\$3\,650$ y se ganan intereses del $7.20\%$ anual capitalizable por quincenas?
- a) $\$183\,806.04$
- b) $\$201\,409.63$
- c) $\$198\,191.75$
- d) $\$187\,923.03$
- e) Otra
Solución Paso a Paso
Como los intereses son $7.20\%$ anual capitalizable por quincenas, se toma una tasa nominal anual convertible $24$ veces al año: $i=\frac{0.072}{24}$ por quincena.
Calculamos: $$i=\frac{0.072}24=0.003$$
Hay $40$ aportaciones quincenales, asà que trabajamos con $n=40$ periodos (quincenas) y suponemos depósitos vencidos (al final de cada quincena).
El crecimiento es $3.5\%$ cada bimestre. Un bimestre son $2$ meses $=4$ quincenas, asà que las aportaciones se agrupan en bloques de $4$.
Entonces la aportación en la quincena $t$ es $$R_t=3650\,(1.035)^{\left\lfloor\frac{t-1}{4}\right\rfloor}$$
El valor futuro al final de la quincena $40$ se arma sumando cada depósito capitalizado: $$F=\sum_{t=1}^{40} R_t(1+i)^{40-t}$$
En cada término, $(1+i)^{40-t}$ cuenta cuántas quincenas le faltan a ese depósito para llegar al final del periodo $40$.
Se evalúa la suma por bloques: las primeras $4$ rentas valen $3650$, las siguientes $4$ valen $3650(1.035)$, etc., y cada una se multiplica por su potencia correcta de $(1+i)$.
Al calcular numéricamente con $i=0.003$, se obtiene el monto acumulado al final de la quincena $40$.
$$\boxed{\$\,181,073.59}$$