Enunciado
¿De cuánto será la primera aportación quincenal en un fondo de ahorros si se generan intereses del $10.32\%$ nominal quincenal? Suponga que son $44$, crecen $3\%$ cada cuatrimestre y se pretende acumular un monto de $\$1\,250\,000$, $3$ años después de la última.
- a) $\$8\,429.35$
- b) $\$10\,940.51$
- c) $\$7\,431.52$
- d) $\$7\,921.78$
- e) Otra
Solución Paso a Paso
Interpretamos “$10.32\%$ nominal quincenal” como una tasa nominal anual convertible quincenalmente ($24$ quincenas por año), por lo que la tasa por quincena es $i=\frac{0.1032}{24}$.
Calculamos: $$i=\frac{0.1032}24=0.0043$$
Se hacen $44$ aportaciones quincenales vencidas (al final de cada quincena).
Las aportaciones crecen $3\%$ cada cuatrimestre. Un cuatrimestre son $4$ meses $=8$ quincenas, así que el crecimiento aplica por bloques de $8$.
Entonces la aportación $k$ es $$R_k=R_1(1.03)^{\left\lfloor\frac{k-1}{8}\right\rfloor}$$
Se desea el monto $3$ años después de la última aportación. En quincenas: $3$ años $=3\cdot 24=72$ quincenas extra.
El horizonte de acumulación es al final de la quincena $44+72=116$. El depósito $k$ (hecho al final de la quincena $k$) se capitaliza $116-k$ quincenas.
El valor futuro queda: $$1\,250\,000=\sum_{k=1}^{44} R_k(1+i)^{116-k}=R_1\sum_{k=1}^{44}(1.03)^{\lfloor (k-1)/8\rfloor}(1+i)^{116-k}$$
Se despeja la primera aportación: $$R_1=\frac{1\,250\,000}{\sum_{k=1}^{44}(1.03)^{\lfloor (k-1)/8\rfloor}(1+i)^{116-k}}$$
Al sustituir $i=0.0043$ y evaluar la suma, se obtiene:
$$\boxed{\$\,17,783.57}$$