Enunciado
En el problema 33, considere el caso lÃmite en que las masas se hacen muy pequeñas y quedan espaciadas muy estrechamente. En este lÃmite, el sistema se aproxima a un continuo de masa a lo largo de la dirección $x$, en vez de un grupo de masas finitas espaciadas.
Indique el desplazamiento de cada masa como $\Delta m$, en vez de $m$, y el desplazamiento como $\Delta x$, en vez de $a$. Demuestre que en el lÃmite en que $\Delta m$ y $\Delta x$ tienden a cero, de manera que la masa por longitud unitaria $\mu=\Delta m/\Delta x$ se conserva, la ecuación de movimiento del problema 33 pasa a:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{Y}{\mu}\,\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
en que el módulo de Young $Y$ es igual a $\beta a$
Solución Paso a Paso
Partimos de la ecuación discreta (problema 33):$$m\,\frac{d^2u_n}{dt^2}=\beta(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n)$$