Enunciado
A bajas temperaturas, muchas sustancias cristalinas tienen un calor especÃfico dado por la ley de Debye de proporcionalidad con $T^3$:
$$c=aT^3$$
Suponiendo que esta sustancia tiene entropÃa cero a $T=0\,K$, encuentre la entropÃa por mol a una temperatura finita $T_f$
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 8
Tenemos que $$c(T)=aT^3$$
Paso 2 2 de 8
Para un calentamiento reversible:$$dS=\frac{\delta Q_{rev}}{T}$$
Paso 3 3 de 8
Y:$$\delta Q_{rev}=c(T)\,dT$$
Paso 4 4 de 8
Entonces:$$dS=\frac{c(T)}{T}dT$$
Paso 5 5 de 8
Sustituimos $c(T)=aT^3$:$$dS=aT^2\,dT$$
Paso 6 6 de 8
Integramos de $0$ a $T_f$ y usamos $S(0)=0$:$$S(T_f)=\int_0^{T_f}aT^2\,dT=a\left[\frac{T^3}{3}\right]_0^{T_f}$$
Paso 7 7 de 8
$$S(T_f)=\frac{a}{3}T_f^3$$
Resultado 8 de 8
$$\boxed{S(T_f)=\frac{a}{3}T_f^3}$$