Enunciado
El periodo de las oscilaciones amortiguadas de una masa de $1\,\text{kg}$ unida a un resorte es de $0.5\,\text{s}$. Si la masa de $1\,\text{kg}$ estira el resorte $5\,\text{cm}$, encuentre la constante que expresa la amortiguación.
Solución Paso a Paso
Del estiramiento estático: $mg=kx$. Con $m=1\,\text{kg}$ y $x=5\,\text{cm}=0.05\,\text{m}$:$$k=\frac{mg}{x}=\frac{(1)(9.8)}{0.05}=196\,\text{N/m}$$
La frecuencia angular natural (sin amortiguamiento) es:$$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{196}=14\,\text{rad/s}$$
El periodo amortiguado es $T_d=0.5\,\text{s}$, asà que la frecuencia angular amortiguada es:$$\omega_d=\frac{2\pi}{T_d}=\frac{2\pi}{0.5}=4\pi\approx 12.57\,\text{rad/s}$$
Para un oscilador subamortiguado: $$\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\left(\frac{b}{2m}\right)^2}$$
Despejamos $b$:$$\left(\frac{b}{2m}\right)^2=\omega_0^2-\omega_d^2\ \Rightarrow\ b=2m\sqrt{\omega_0^2-\omega_d^2}$$
Sustituimos:$$b=2(1)\sqrt{14^2-(4\pi)^2}\approx 12.34\,\text{N x s/m}$$
$$\boxed{b\approx 12.3\,\text{N x s/m}}$$
