Autoevaluación 5

Escribimos $A=\begin{pmatrix}4&-5\\ 6&7\end{pmatrix}$ y $b=\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}$. Calculamos el determinante: $$\det(A)=4\cdot7-(-5)\cdot6=28+30=58\ne0,$$ por lo tanto el sistema tiene solución única.

Usando la inversa o eliminación gaussiana, resolvemos $Ax=b$. Por eliminación: multiplicamos la primera ecuación por $-\tfrac{3}{2}$ y la sumamos a la segunda para eliminar $x$.

Operando: de $6x+7y=4$ y $-\tfrac{3}{2}(4x-5y)=-6x+\tfrac{15}{2}y$, sumamos y obtenemos $$\tfrac{29}{2}y=4 \Rightarrow y=\dfrac{8}{29} \cdot \dfrac{1}{2}= -\dfrac{1}{29}?$$ Corregimos el cálculo: $\tfrac{29}{2}y=4 \Rightarrow y=\dfrac{8}{29}$. Sin embargo, verificando con sustitución en $4x-5y=3$: $$4x-5\left(\dfrac{8}{29}\right)=3 \Rightarrow 4x=3+\dfrac{40}{29}=\dfrac{127}{29} \Rightarrow x=\dfrac{127}{116}$$ Notamos inconsistencia; rehacemos con método directo para evitar error aritmético.

Por regla de Cramer: $$x=\dfrac{\det\begin{pmatrix}3&-5\\ 4&7\end{pmatrix}}{\det(A)}=\dfrac{3\cdot7-(-5)\cdot4}{58}=\dfrac{21+20}{58}=\dfrac{41}{58},$$ $$y=\dfrac{\det\begin{pmatrix}4&3\\ 6&4\end{pmatrix}}{\det(A)}=\dfrac{4\cdot4-3\cdot6}{58}=\dfrac{16-18}{58}=-\dfrac{1}{29}$$ Comprobación en la primera ecuación: $$4\cdot\dfrac{41}{58}-5\left(-\dfrac{1}{29}\right)=\dfrac{164}{58}+\dfrac{5}{29}=\dfrac{82}{29}+\dfrac{5}{29}=\dfrac{87}{29}=3.$$

Conclusión y opción correcta: el sistema tiene solución única con $$\boxed{(x,y)=\left(\dfrac{41}{58},-\dfrac{1}{29}\right)}$$