Enunciado
Demuestre que si $A$ y $B$ son matrices triangulares inferiores de $n\times n$, entonces $$\det(AB)=\det A\,\det B.$$
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 6
El producto de dos matrices triangulares inferiores es triangular inferior.
Paso 2 2 de 6
Además, la diagonal de $AB$ viene dada por $\,(AB)_{ii}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{ki}=a_{ii}b_{ii}$ (porque $a_{ik}=0$ para $k>i$ y $b_{ki}=0$ para $k
Paso 3 3 de 6
Por tanto $AB$ es triangular con diagonal $(a_{11}b_{11},\ldots,a_{nn}b_{nn})$.
Paso 4 4 de 6
Para cualquier triangular, $\det$ es el producto de la diagonal, así
Paso 5 5 de 6
$$\det(AB)=\prod_{i=1}^n (a_{ii}b_{ii})=\left(\prod a_{ii}\right)\left(\prod b_{ii}\right)=\det A\,\det B,$$
Resultado 6 de 6
$$\boxed{\det(AB)=\det A\,\det B}$$