Enunciado
La figura muestra la curva de utilidad de la riqueza de Luisa.
A Luisa le ofrecieron un empleo como vendedora en el que hay probabilidad de $50\%$ de ganar $4000$ dólares mensuales y probabilidad de $50\%$ de no ganar nada.
- ¿Cuál es el ingreso esperado de Luisa si acepta este empleo?
- ¿Cuál es la utilidad esperada de Luisa si acepta este empleo?
- ¿Qué sueldo seguro tendría que ofrecer otra empresa para convencerla de no aceptar el empleo de ventas riesgoso?
- ¿Cuál es el costo del riesgo de Luisa?
Solución Paso a Paso
La idea es usar ingreso esperado y utilidad esperada. El ingreso esperado es el promedio ponderado por probabilidades.
(a) Ingreso esperado: $$E[Y]=0.5\cdot 4000+0.5\cdot 0=2000\ \text{dólares}$$
Ahora usamos la curva de utilidad de la riqueza de la figura. Leemos aproximadamente: $U(0)=0$ y $U(4\ \text{mil})\approx 98$ (la curva está cerca de $100$).
(b) Utilidad esperada: $$E[U]=0.5\cdot U(4000)+0.5\cdot U(0)\approx 0.5\cdot 98+0.5\cdot 0=49.$$
(c) El sueldo seguro equivalente (certeza equivalente) es el sueldo $S$ tal que $$U(S)=E[U]$$
Buscamos en la curva dónde $U\approx 49$. Entre $1$ mil y $2$ mil: $U(1)\approx 45$ y $U(2)\approx 75$.
Interpolamos: para subir de $45$ a $49$ faltan $4$ puntos de un total de $30$, así que es $\frac{4}{30}$ del tramo de $1$ a $2$.
Entonces $$S\approx (1+\tfrac{4}{30})\ \text{mil}\approx 1.133\ \text{mil}=1133\ \text{dólares}$$
(d) El costo del riesgo es cuánto ingreso esperado se “pierde” por ser adversa al riesgo: $$\text{costo del riesgo}=E[Y]-S$$
$$\text{costo del riesgo}\approx 2000-1133=867\ \text{dólares}$$
Nota: los valores numéricos dependen de leer la gráfica; aquí se usan aproximaciones coherentes con la curva mostrada.
$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) }E[Y]=2000.\\ &\text{b) }E[U]\approx 49.\\ &\text{c) Sueldo seguro }S\approx 1133.\\ &\text{d) Costo del riesgo }\approx 867.\end{aligned}}$$