Enunciado
Jaime y Zoila tienen los siguientes planes de utilidad de la riqueza:
Riqueza (dólares): $0,100,200,300,400,500,600,700$
Utilidad de Jaime: $0,200,300,350,375,387,393,396$
Utilidad de Zoila: $0,512,640,672,678,681,683,684$
- ¿Cuál es la utilidad esperada de Jaime y Zoila ante una apuesta que da $50\%$ de obtener $600$ dólares y $50\%$ de no obtener nada?
- Calcule la utilidad marginal de los planes de riqueza de Jaime y Zoila.
- ¿Quién tiene más aversión al riesgo, Jaime o Zoila? ¿Cómo lo sabe?
- ¿Quién de los dos es más probable que compre un seguro, Jaime o Zoila?
Solución Paso a Paso
(a) La utilidad esperada es el promedio ponderado por probabilidades.
Para Jaime: $$E[U]=0.5\cdot U(600)+0.5\cdot U(0)=0.5\cdot 393+0.5\cdot 0=196.5.$$
Para Zoila: $$E[U]=0.5\cdot 683+0.5\cdot 0=341.5.$$
(b) La utilidad marginal (UMg) por cada $100$ dólares es el aumento de utilidad al subir la riqueza de $100$ en $100$.
Para Jaime: $$\begin{aligned}&0\to 100:200\\ &100\to 200:100\\ &200\to 300:50\\ &300\to 400:25\\ &400\to 500:12\\ &500\to 600:6\\ &600\to 700:3\end{aligned}$$
Para Zoila: $$\begin{aligned}&0\to 100:512\\ &100\to 200:128\\ &200\to 300:32\\ &300\to 400:6\\ &400\to 500:3\\ &500\to 600:2\\ &600\to 700:1\end{aligned}$$
(c) Hay más aversión al riesgo cuando la utilidad es más cóncava, o sea, cuando la utilidad marginal cae más rápido.
Zoila tiene una caÃda más fuerte de UMg (de $512$ a $1$), asà que es más adversa al riesgo.
(d) Quien es más adverso al riesgo suele estar más dispuesto a pagar por eliminar riesgo, por eso Zoila es la más probable en comprar seguro.
$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) }E[U]_{Jaime}=196.5,\\ E[U]_{Zoila}=341.5.\\ &\text{b) UMg Jaime: }200,100,50,25,12,6,3;\\ \text{UMg Zoila: }512,128,32,6,3,2,1.\\ &\text{c) Más aversión: Zoila (UMg cae más rápido).}\\ &\text{d) Más probable que compre seguro: Zoila.\end{aligned}}$$