Enunciado
Luisa, del problema $1$, construyó una pequeña cabaña de fin de semana en una ladera escarpada e inestable. Gastó toda su riqueza, que era de $5000$ dólares, en comprar y construir la casa. Una vez al año existe una posibilidad del $5\%$ de que se derrumbe y pierda todo su valor.
¿Cuánto está dispuesta a pagar por una póliza de seguros que le dé una cobertura de $5000$ dólares si la casa se derrumba?
Solución Paso a Paso
Luisa tiene una riqueza de $5000$ (es decir, $5$ miles de dólares) invertida toda en la casa.
Sin seguro, hay dos resultados en un año:
- Con probabilidad $0.95$: la casa no se derrumba y su riqueza es $5000$.
- Con probabilidad $0.05$: la casa se derrumba y su riqueza cae a $0$.
Usamos la curva de utilidad de Luisa (aprox. leÃda de la gráfica): $U(0)=0$ y $U(5000)=U(5)\approx 100$.
Entonces la utilidad esperada sin seguro es:
$$E[U]=0.95\cdot U(5000)+0.05\cdot U(0)\approx 0.95\cdot 100+0.05\cdot 0=95.$$
La certeza equivalente es la riqueza segura $CE$ que satisface $$U(CE)=E[U]$$
En la gráfica, $U(3)\approx 92$ y $U(4)\approx 98$, asà que $U=95$ está entre $3$ y $4$ miles.
Interpolamos: de $92$ a $95$ son $3$ puntos de un total de $6$ para llegar a $98$, asà que es la mitad del tramo: $$CE\approx 3.5\ \text{miles}=3500\ \text{dólares}$$
Si compra un seguro con cobertura completa, su riqueza será segura (siempre termina con $5000$), pero debe pagar una prima $\pi$.
Con prima $\pi$, su riqueza segura con seguro serÃa $$5000-\pi$$
Ella está dispuesta a pagar como máximo la prima que la deje indiferente:
$$5000-\pi = CE$$
AsÃ, $$\pi_
Nota: el valor depende de la lectura de la curva de utilidad; aquà se usa una aproximación consistente con la gráfica.
$$\boxed{\pi_{\max}\approx 1500}$$