Pensamiento Crítico 01

Primero se recuerda la idea clave: el PIB real total crece por dos motivos grandes: más gente trabajando (o más horas) y/o más producción por cada hora (productividad).

Para la parte (a) usamos la tasa de crecimiento anual del PIB real total de China en $2005$ que se menciona en la lectura: $g_{Y,China}=9\%$.

Eso significa que si el PIB real era $Y_{2004}$, entonces en $2005$ sería $Y_{2005}=Y_{2004}(1+0.09)$.

Para la parte (b) se separa el crecimiento de $Y$ en “horas trabajadas” y “productividad laboral”. Una forma simple es:

$$\text{PIB real} = (\text{PIB real por hora})\times(\text{horas trabajadas})$$

Al pasar a tasas de crecimiento (aprox. suman):

$$g_Y \approx g_{Y/H}+g_H$$

donde $H$ son las horas totales trabajadas y $Y/H$ es productividad por hora.

Entonces, para saber si crece por productividad o por más horas, se compara $g_Y$ con $g_H$: si $g_Y>g_H$, la diferencia se la lleva $g_{Y/H}$.

Si en vez de horas se tiene población $N$, otra identidad útil es:

$$\frac{Y}{N}=\frac{Y}{H}\cdot\frac{H}{N}$$

Así se ve qué parte viene de productividad $Y/H$ y qué parte viene de “horas por persona” $H/N$ (participación y jornada).

Para la parte (c) la brecha con EE. UU. se reduce cuando el PIB real por persona de China crece más rápido que el de EE. UU. Si $g_{y,China}>g_{y,US}$ entonces China se acerca.

De la lectura (y también coherente con los datos demográficos del capítulo), una aproximación típica es que la población de China crecía alrededor de $0.6\%$ en ese periodo. Entonces el crecimiento del PIB por persona es:

$$g_{y,China}\approx g_{Y,China}-g_{N,China}=9\%-0.6\%=8.4\%$$

Si el PIB real por persona de EE. UU. crece, por ejemplo, alrededor de $g_{y,US}=2\%$, entonces como $8.4\%>2\%$, China sí va cerrando la brecha.

Para la parte (d) se modela el “alcance” con crecimiento compuesto. Si en $2005$ China tiene una fracción $r_0$ del nivel de EE. UU., entonces:

$$r_t=r_0\left(\frac{1+g_{y,China}}{1+g_{y,US}}\right)^t$$

Para “igualar” se pide $r_t=1$, así que:

$$1=r_0\left(\frac{1+g_{y,China}}{1+g_{y,US}}\right)^t\Rightarrow \left(\frac{1+g_{y,China}}{1+g_{y,US}}\right)^t=\frac{1}{r_0}$$

Si se toma un punto de partida ilustrativo común: China cerca de $r_0=0.20$ del PIB por persona de EE. UU. en $2005$, entonces $1/r_0=5$.

Sustituyendo $g_{y,China}=0.084$ y $g_{y,US}=0.02$:

$$t=\frac{\ln(5)}{\ln\left(\frac{1.084}{1.02}\right)}$$

Calculando:

$$\frac{1.084}{1.02}\approx 1.062745$$

Y entonces:

$$t\approx \frac{\ln(5)}{\ln(1.062745)}\approx 26.45\ \text{años}$$

$$\boxed{\text{En }2005,\ g_{Y,China}=9\%,\ y\ con\ los\ supuestos\ indicados,\ t\approx 26.5\ \text{años}}$$