Enunciado

Dada $4x^2+4xy+7y^2+12x+6y-9=0$, graficar la cónica indicando eje focal y los focos.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 11

Coeficientes: $A=4$, $B=4$, $C=7$. Como $B^2-4AC=16-112=-96 \lt 0$ y $A,C \gt 0$, la cónica es una elipse.

Paso 2 2 de 11

Hallamos el centro resolviendo $2Ax+By+D=0$ y $Bx+2Cy+E=0$, con $D=12$, $E=6$.

Paso 3 3 de 11

Sistema: $8x+4y+12=0$ y $4x+14y+6=0$. Se obtiene $\boxed{(h,k)=(-\tfrac32,0)}$.

Paso 4 4 de 11

Trasladamos: $x=X-\tfrac32$, $y=Y$. La ecuación queda $4X^2+4XY+7Y^2=18$.

Paso 5 5 de 11

Diagonalizamos $Q=\begin{pmatrix}4&2\\ 2&7\end{pmatrix}$: autovalores $3$ y $8$, con eje mayor asociado a $\lambda=3$.

Paso 6 6 de 11

En ejes principales $(U,V)$: $3U^2+8V^2=18 \Rightarrow \dfrac{U^2}{6}+\dfrac{V^2}{9/4}=1$.

Paso 7 7 de 11

Así, $a^2=6$, $b^2=9/4$. Entonces $c^2=a^2-b^2=6-\tfrac94=\tfrac{15}{4}\Rightarrow c=\tfrac{\sqrt{15}}{2}$.

Paso 8 8 de 11

El eje focal (eje mayor) es la recta por el centro con dirección del autovector de $\lambda=3$, proporcional a $(-2,1)$, por lo que: $\boxed{y=-\tfrac12(x+\tfrac32)}$.

Paso 9 9 de 11

Los focos están a distancia $c$ del centro sobre esa dirección. Con vector unitario $\dfrac{(-2,1)}{\sqrt5}$, los focos son:

Paso 10 10 de 11

$\boxed{F_1\left(-\tfrac32-\dfrac{2c}{\sqrt5},\ \dfrac{c}{\sqrt5}\right)}$ y $\boxed{F_2\left(-\tfrac32+\dfrac{2c}{\sqrt5},\ -\dfrac{c}{\sqrt5}\right)}$, con $c=\tfrac{\sqrt{15}}{2}$.

Resultado 11 de 11

(Si se desea numérico: $c/\sqrt5=\sqrt3/2$, por tanto $F_1=(-\tfrac32-\sqrt3,\ \tfrac{\sqrt3}{2})$, $F_2=(-\tfrac32+\sqrt3,\ -\tfrac{\sqrt3}{2})$.)