Enunciado
En el sistema $XY$, clasificar la cónica dada por $ x^{2} + 4 x y - 8 \sqrt{5} x + 4 y^{2} - 6 \sqrt{5} y - 10=0 $, eliminar el término $xy$ por rotación y (si aplica) trasladar para obtener la forma canónica. Graficar.
Solución Paso a Paso
Indicador $B^2-4AC=0$ → parábola.
Diagonalizamos $Q=\left[\begin{matrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{matrix}\right]$ para eliminar el término $xy$.
Autovalores: $\lambda_1=0$, $\lambda_2=5$.
Rotación ortonormal: $\binom{x}{y}=P\binom{U}{V}$, $P=\left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5} & \frac{\sqrt{5}}{5}\\ \frac{\sqrt{5}}{5} & \frac{2 \sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right]$.
En $(U,V)$: $10 U + 5 V^{2} - 20 V - 10=0$.
Despejamos $U$: $U=- \frac{1}{2}V^2+2V+1$.
Completando cuadrado: $U-3=- \frac{1}{2}(V-2)^2$.
Forma estándar: $(V-2)^2=4p\,(U-3)$ con $p=- \frac{1}{2}$.
Vértice en $(U,V)=(3,2)$; eje focal paralelo al eje $U$.
En $XY$, el vértice es $\left(- \frac{4 \sqrt{5}}{5},\frac{7 \sqrt{5}}{5}\right)$ y el eje es la recta por el vértice con dirección $$\left[\begin{matrix}- \frac{2 \sqrt{5}}{5}\\ \frac{\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right]$$