Enunciado

En el sistema $XY$, clasificar la cónica dada por $ 6 x^{2} - 5 x y + 78 x - 6 y^{2} + 52 y + 26=0 $, eliminar el término $xy$ por rotación y (si aplica) trasladar para obtener la forma canónica. Graficar.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 10

Indicador $B^2-4AC=169$ → hipérbola.

Paso 2 2 de 10

Diagonalizamos $Q=\left[\begin{matrix}6 & - \frac{5}{2}\\ - \frac{5}{2} & -6\end{matrix}\right]$ para eliminar el término $xy$.

Paso 3 3 de 10

Autovalores: $\lambda_1=- \frac{13}{2}$, $\lambda_2=\frac{13}{2}$.

Paso 4 4 de 10

Rotación ortonormal: $\binom{x}{y}=P\binom{U}{V}$, $P=\left[\begin{matrix}\frac{\sqrt{26}}{26} & - \frac{5 \sqrt{26}}{26}\\ \frac{5 \sqrt{26}}{26} & \frac{\sqrt{26}}{26}\end{matrix}\right]$.

Paso 5 5 de 10

En $(U,V)$: $- \frac{13 U^{2}}{2} + 13 \sqrt{26} U + \frac{13 V^{2}}{2} - 13 \sqrt{26} V + 26=0$.

Paso 6 6 de 10

Traslación al centro: $U=u+(\sqrt{26})$, $V=v+(\sqrt{26})$.

Paso 7 7 de 10

Ecuación reducida: $- \frac{13}{2}u^2+\frac{13}{2}v^2+26=0$.

Paso 8 8 de 10

Reordenamos: $- \frac{13}{2}u^2+\frac{13}{2}v^2=-26$.

Paso 9 9 de 10

Forma estándar: $\dfrac{v^2}{-4}-\dfrac{u^2}{-4}=1$ (hipérbola).

Resultado 10 de 10