Enunciado
Una cuerda de 10 cm de longitud tiene sus extremos atados a los puntos $A(-4,0)$ y $B(4,0)$. Con un lapicero se tensa la cuerda y desde un punto $P(x,y)$ se hace “correr” el lapicero de tal manera que la punta se desliza sobre la hoja describiendo una curva cerrada. Hallar la ecuación que representa dicha curva.
Solución Paso a Paso
Cuando una cuerda con extremos fijos se mantiene siempre tensa, la suma de distancias desde el punto móvil $P$ a los extremos es constante.
Esto describe una elipse cuyos focos son los puntos fijos $A$ y $B$.
La longitud total de la cuerda es $10$, por tanto:$$PA+PB=10$$
Para una elipse, la suma de distancias a los focos es $2a$. Así:$$2a=10\Rightarrow a=5$$
Los focos son $A(-4,0)$ y $B(4,0)$, por lo que el centro es el punto medio:$$O=(0,0)$$
La distancia del centro a cada foco es $c=4$.
Relación fundamental de la elipse:$$c^2=a^2-b^2$$
Despejamos $b^2$:$$b^2=a^2-c^2=25-16=9$$
Como los focos están sobre el eje $X$, el eje mayor es horizontal y la forma estándar es:$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
Sustituimos $a^2=25$ y $b^2=9$:$$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$$
Respuesta:$$\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.}$$
