Enunciado
Sea $U$ cualquier punto de la gráfica de $\mathcal{P}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x^2\}$ y sean $S$ y $T$ las proyecciones de $U$ sobre los ejes $X$ e $Y$ respectivamente. Hallar la ecuación del lugar geométrico formado por los puntos medios de $ST$.
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 8
Parametrizamos $U$ en la parábola $y=x^2$ como $U(t,t^2)$.
Paso 2 2 de 8
Proyección sobre el eje $X$:$$S(t,0)$$
Paso 3 3 de 8
Proyección sobre el eje $Y$:$$T(0,t^2)$$
Paso 4 4 de 8
El punto medio $M(x,y)$ de $ST$ es:$$M\left(\frac{t+0}{2},\frac{0+t^2}{2}\right)=\left(\frac{t}{2},\frac{t^2}{2}\right)$$
Paso 5 5 de 8
Eliminamos el parámetro: de $x=\tfrac{t}{2}$ se obtiene $t=2x$.
Paso 6 6 de 8
Sustituimos en $y$:$$y=\frac{(2x)^2}{2}=\frac{4x^2}{2}=2x^2$$
Paso 7 7 de 8
Respuesta:$$\boxed{y=2x^2.}$$
Resultado 8 de 8