El Pensamiento Matemático Parte III – Morris Kline

Hasta el siglo XIX, la teoría de números era una serie de resultados aislados, aunque muchas veces brillantes. Una nueva era se inició con el Disquisitiones Arithmeticae $Disquisiciones Aritméticas$1, de Gauss, que compuso a la edad de veinte años. Esta gran obra había sido enviada a la Academia Francesa en 1800, pero la rechazaron y entonces Gauss la publicó él mismo. En este libro estableció la notación, sistematizó y extendió la teoría existente, clasificó los problemas que debían ser estudiados y los métodos conocidos para atacarlos e introdujo nuevos métodos.

En el trabajo de Gauss sobre la teoría de números hay tres ideas principales: la teoría de congruencias, la introducción de los números algebraicos y la teoría de las formas como idea básica en el análisis diofántico. Este trabajo no solamente inició la teoría moderna de números, sino que determinó las direcciones de trabajo en la materia hasta el presente. Las Disquisitiones son difíciles de leer, pero Dirichlet las explicó. Otro avance importante en el siglo XIX es la teoría analítica de números, que además de usar el álgebra, se vale del análisis para tratar problemas concernientes a los enteros. Dirichlet y Riemann se erigieron como figuras en esta innovación.