Regla de Simpson

1.3 Integración numérica

1.3.3 Regla de Simpson

El Método de Simpson es un método de Newton-Cótes de segundo orden, es decir basado en integrar un polinomio de interpolación de segundo grado, de la forma siguiente:

Dada la función $f$x$$ en $[a,b]$, tomaremos como tercer punto para la interpolación el punto medio de dicho intervalo, es decir: $x_{m} = frac{a+b}{2}$, y denominaremos $h = frac{b-a}{2}$ a la semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolación de segundo grado que pasa por $$a,f$a$$$, $$x_{m},f$x_{m}$$$ y $$b,f$b$$$ será: $$P_{2}$x$ = f$a$ + frac{f$x_{m}$ – f$a$}{h}$x-a$ + frac{f$a$ – f$b$ – 2f$x_{m}$}{2h^2}$x-a$$x-x_{m}$$$ Calculando la integral de $P_{2}$x$$ entre a y b, de manera que se obtiene: $$int_{a}^{b} f$x$ ,dx approx int_{a}^{b} P_{2}$x$ ,dx = frac{h}{3}$f$a$ + 4f$x_{m}$ + f$b$$$$

Es posible generalizar $mejorando la precisión$ el Método de Simpson por medio de la subdivisión del intervalo dado en otros más reducidos. De esta forma si partimos el intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de anchura $h = frac{b-a}{n}$, tendremos la partición ${x_{0}, x_{1}, …, x_{n} }$. Tendremos entonces: $$int_{a}^{b} f$x$ ,dx = int_{a}^{x_{2}}f$x$ ,dx + int_{x_{2}}^{x_{4}}f$x$ ,dx + … + int_{x_{n-2}}^{x_{n}} f$x$ ,dx$$ y los puntos: $x_{1}, x_{3}, …, x_{n-1}$ representarán el papel de «puntos medios» en cada una de las aplicaciones sucesivas del método simple. De forma explícita se obtiene: $$int_{a}^{b} f$x$ ,dx approx frac{h}{3} $f$a$ + 4I + 2P + f$b$$$$ Donde $I$ y $P$ representan las sumas: $$I = sum_{i=2,::impares}^{n-1} f$x_{i}$ = f$x_{1}$ + f$x_{3}$ + … + f$x_{n-1}$$$ $$P = sum_{i=2,::pares}^{n-2} f$x_{i}$ = f$x_{2}$ + f$x_{4}$ + … + f$x_{n-2}$$$ Concluimos por tanto en la expresión: $$E leq left| frac{b-a}{180}h^4M_{4} right|$$

Ejemplo.

Calcular el valor aproximado de la integral $$int_{0}^{1} frac{x ,dx}{$x+1$$x+2$}$$ Utilizando la regla de Simpson compuesta con $$n = 8$$.

De manera que: $$I approx frac{h}{3} [f$0$ + 4$f$x_{1}$ + f$x_{3}$ + f$x_{5}$ + f$x_{7}$$ + 2$f$x_{2}$ + f$x_{2}$ + f$x_{4}$ + f$x_{6}$$ + f$x_{8}$]$$ $$approx frac{0.125}{3} [4$0.05228+0.11482+0.14652+0.162319$+2$0.888+0.1333+0.15584$+0.1666]$$ $$I approx 0.117773$$