Ecuaciones Diferenciales en la Práctica – V.V. Amelkin – 1ra Edición

Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de ecuación diferencial. A partir de una ecuación diferencial se pueden hallar funciones cuyas derivadas $o diferenciales$ satisfacen ciertas condiciones preestablecidas. Una ecuación diferencial obtenida como resultado de la investigación de un fenómeno o proceso real cualquiera, se llama modelo diferencial del fenómeno o proceso. Es claro que los modelos diferenciales son casos particulares del conjunto de todos los modelos matemáticos que pueden construirse al estudiar el mundo que nos rodea. Debemos subrayar que los modelos diferenciales tienen su propia clasificación. Nosotros examinaremos únicamente los modelos diferenciales representados por las llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales se caracterizan por el hecho de que las funciones incógnitas presentes en ellas dependen de una sola variable.

Al construir los modelos diferenciales ordinarios $y no sólo ellos$ es de gran importancia, y a veces tiene un valor primordial, el conocimiento de las leyes propias de la rama de la ciencia con la cual está relacionado el problema examinado. Por ejemplo, en la mecánica tales leyes pueden ser las leyes de Newton; en la teoría de circuitos eléctricos, las leyes de Kirchhofí; en la teoría de las reacciones químicas, la ley de acción de masas; etcétera.

Por supuesto, en la práctica se suelen presentar problemas para los que no se conocen leyes que permitan construir las ecuaciones diferenciales que los describen. En esos casos, una alternativa es recurrir a suposiciones $hipótesis$ sobre el comportamiento del proceso para variaciones pequeñas de los parámetros $variables$ que lo determinan. Pasando posteriormente al límite se llega a una ecuación diferencial. Si al actuar de esta manera los resultados obtenidos del análisis de la ecuación diferencial concuerdan con los datos experimentales, entonces se puede afirmar que las hipótesis hechas sobre el problema inicial reflejan correctamente su estado real.

Al elaborar este libro, el autor se fijó dos objetivos. El primero es mostrar mediante ejemplos tomados de diferentes ramas de la ciencia $ejemplos con contenido y no meramente ilustrativos$ las posibilidades del empleo de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el estudio de la realidad que nos rodea. Claro está, los ejemplos examinados están lejos de abarcar todo el conjunto de preguntas que se pueden contestar utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero, en primer lugar, «nadie puede abarcar lo inabarcable», y en segundo, las situaciones analizadas aquí ya dan una idea del papel que desempeñan las ecuaciones diferenciales ordinarias en la resolución de problemas prácticos.