Enunciado
Gestión de calidad del agua, Stark and Nicholes (1972). Cuatro ciudades descargan aguas residuales en la misma corriente de agua. La ciudad 1 está corriente arriba, la ciudad 2 corriente abajo; luego la ciudad 3, y finalmente la ciudad 4. Medidas a lo largo de la corriente de agua, las ciudades están aproximadamente a $15$ millas una de otra. Una medida de la cantidad de contaminantes en las aguas residuales es la demanda de oxÃgeno bioquÃmico (BOD, por sus siglas en inglés), lo cual es el peso del oxÃgeno requerido para estabilizar los constituyentes de desecho en el agua. Una BOD más alta indica una peor calidad del agua. La Agencia de Protección Ambiental (EPA, por sus siglas en inglés) establece una carga de BOD permisible máxima, expresada en lb de BOD por galón. La eliminación de contaminantes del agua residual se realiza en dos formas: (1) actividad de descomposición natural estimulada por el oxÃgeno en el aire, y (2) plantas de tratamiento en los puntos de descarga antes de que los desechos lleguen a la corriente de agua. El objetivo es determinar la eficiencia más económica de cada una de las cuatro plantas que reducirán la BOD a niveles aceptables. La eficiencia máxima posible de la planta es de $99\%$.
Para demostrar los cálculos implicados en el proceso, considere las siguientes definiciones para la planta $1$:
- $Q_1$ = velocidad de flujo de la corriente (gal/h) en el tramo de $15$ millas que conduce a la ciudad $2$
- $p_1$ = tasa de descarga de BOD (en lb/h)
- $x_1$ = eficiencia de la planta $1$ ($\le .99$)
- $b_1$ = carga de BOD máxima permisible en el tramo $1$-$2$ (en lb de BOD/gal)
Para satisfacer el requerimiento de carga de BOD en el tramo $1$-$2$, debemos tener
$$p_1(1-x_1)\le b_1Q_1$$
Del mismo modo, la restricción de carga de BOD en el tramo $2$-$3$ se escribe como
$$(1-r_{12})\big(\text{Tasa de descarga de BOD en el tramo 1-2}\big)+\big(\text{Tasa de descarga de BOD en el tramo 2-3}\big)\le b_2Q_2$$
o bien
$$(1-r_{12})p_1(1-x_1)+p_2(1-x_2)\le b_2Q_2$$
El coeficiente $r_{12}$ ($\le 1$) representa la fracción de desechos eliminado en el tramo $1$-$2$ por descomposición. Para el tramo $2$-$3$, la restricción es
$$(1-r_{23})\big[(1-r_{12})p_1(1-x_1)+p_2(1-x_2)\big]+p_3(1-x_3)\le b_3Q_3$$
Determine la eficiencia más económica para las cuatro plantas aplicando los siguientes datos (la fracción de BOD eliminada por descomposición es de $6\%$ en los cuatro tramos):
| Tramo 1–2 (i = 1) | Tramo 2–3 (i = 2) | Tramo 2–3 (i = 3) | Tramo 3–4 (i = 4) | |
|---|---|---|---|---|
| $Q_i$ (gal/h) | $215{,}000$ | $220{,}000$ | $200{,}000$ | $210{,}000$ |
| $p_i$ (lb/h) | $500$ | $3000$ | $6000$ | $1000$ |
| $b_i$ (lb de BOD/gal) | $.00085$ | $.0009$ | $.0008$ | $.0008$ |
| Costo del tratamiento ($/lb de BOD eliminada) | $.20$ | $.25$ | $.15$ | $.18$ |
Solución Paso a Paso
La planta $i$ elimina una fracción $x_i$ de su BOD, asà que…