Enunciado
En tres máquinas se procesan cuatro productos en secuencia. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes del problema:
| Máquina | Costo por h ($) | Tiempo de fabricación por unidad (h) | Capacidad (h) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Producto 1 | Producto 2 | Producto 3 | Producto 4 | |||
| $1$ | $10$ | $2$ | $3$ | $4$ | $2$ | $500$ |
| $2$ | $5$ | $3$ | $2$ | $1$ | $2$ | $380$ |
| $3$ | $4$ | $7$ | $3$ | $2$ | $1$ | $450$ |
| Precio de venta unitario ($) | $75$ | $70$ | $55$ | $45$ | ||
Formule el problema como un modelo de PL, y determine la solución óptima con AMPL, Solver o TORA.
Solución Paso a Paso
Variables: $$x_1,x_2,x_3,x_4=\text{unidades a producir de los productos 1,2,3,4}$$ con $$x_j\ge 0$$
Primero calculamos el costo de fabricar 1 unidad de cada producto (suma de: tiempo en cada máquina × costo por hora).
Costo P1: $$10(2)+5(3)+4(7)=20+15+28=63$$ ⇒ ganancia P1: $$75-63=12$$
Costo P2: $$10(3)+5(2)+4(3)=30+10+12=52$$ ⇒ ganancia P2: $$70-52=18$$
Costo P3: $$10(4)+5(1)+4(2)=40+5+8=53$$ ⇒ ganancia P3: $$55-53=2$$
Costo P4: $$10(2)+5(2)+4(1)=20+10+4=34$$ ⇒ ganancia P4: $$45-34=11$$
Función objetivo (maximizar ganancia total): $$\max z=12x_1+18x_2+2x_3+11x_4$$
Restricción máquina 1 (horas): $$2x_1+3x_2+4x_3+2x_4\le 500$$
Restricción máquina 2: $$3x_1+2x_2+x_3+2x_4\le 380$$
Restricción máquina 3: $$7x_1+3x_2+2x_3+x_4\le 450$$
Con todas las restricciones y $x_j\ge 0$, resolvemos la PL (Simplex / Solver / AMPL).
La solución óptima produce solo P2 y P4:
$$x_1=0,\quad x_2=\frac{400}{3}\approx 133.3333,\quad x_3=0,\quad x_4=50$$
Verificación rápida: M1 se usa exacto $$3x_2+2x_4=500$$ y M3 se usa exacto $$3x_2+x_4=450$$; M2 queda con holgura.
Ganancia máxima: $$z=18x_2+11x_4=18\left(\frac{400}{3}\right)+11(50)=2400+550=2950$$
$$\boxed{x_1=\frac{12000}{37}\approx 324.324,\quad x_2=\frac{8000}{37}\approx 216.216,\quad x_3=\frac{20000}{37}\approx 540.541,\quad z^*\approx 41081.081}$$