Enunciado

La ciudad de Fayetteville iniciará un proyecto de renovación urbana que incluirá casas para personas de bajos y medianos ingresos, departamentos de lujo y viviendas populares. El proyecto también incluye una escuela primaria pública y locales comerciales.

La tabla proporciona (por tipo) mínimos, máximos, tamaño de lote por unidad (acres), alumnos promedio por unidad, demanda de espacio comercial (acres) e ingreso anual por unidad:

  • Bajos ingresos: min $100$, max $200$, lote $0.05$, alumnos $1.3$, comercial $0.023$, ingreso $\$7000$.
  • Medianos ingresos: min $125$, max $190$, lote $0.07$, alumnos $1.2$, comercial $0.034$, ingreso $\$12000$.
  • Altos ingresos: min $75$, max $260$, lote $0.03$, alumnos $0.5$, comercial $0.046$, ingreso $\$20000$.
  • Viviendas populares: min $300$, max $600$, lote $0.025$, alumnos $1.4$, comercial $0.023$, ingreso $\$5000$.
  • Salones de clase: lote $0.045$ acres por salón; costo anual de operación $\$10000$ por salón.
  • Locales comerciales: lote $0.10$ acres por unidad, máximo $25$ unidades; ingreso anual $\$15000$ por unidad.

La escuela puede ocupar máximo $2$ acres y cada salón puede atender hasta $25$ alumnos. El proyecto se ubicará en un lote baldío de $50$ acres. Además, se puede usar una propiedad adyacente con $200$ casas en ruinas que se demolerán; cada una ocupa $0.25$ acres y cuesta $\$7000$ comprar y demoler. El espacio abierto, calles y estacionamientos consumen $15\%$ del terreno total disponible.

Desarrolle el modelo de PL y determine el plan óptimo.

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 15

Decidimos cuántas unidades hacer de cada tipo y cuánto espacio comercial y escolar construir.

Paso 2 2 de 15

Variables (todas en unidades, excepto el terreno):$$x_L=\text{casas bajos ingresos},\quad x_M=\text{casas medianos ingresos},\quad x_H=\text{casas altos ingresos}$$$$x_P=\text{viviendas populares},\quad C=\text{salones de clase},\quad K=\text{unidades comerciales},\quad R=\text{casas en ruinas compradas}$$

Paso 3 3 de 15

Mínimos y máximos (de la tabla):$$100\le x_L\le 200,\quad 125\le x_M\le 190,\quad 75\le x_H\le 260,\quad 300\le x_P\le 600$$$$0\le K\le 25,\quad 0\le R\le 200$$

Paso 4 4 de 15

Alumnos totales (promedio por vivienda):$$A=1.3x_L+1.2x_M+0.5x_H+1.4x_P$$

Paso 5 5 de 15

Cada salón atiende hasta 25 alumnos, así que necesitamos:$$C\ge \frac{A}{25}$$

Paso 6 6 de 15

Área escolar: $$0.045C\le 2$$ (máximo 2 acres).

Paso 7 7 de 15

Espacio comercial requerido (proporcional):$$K\ge 0.023x_L+0.034x_M+0.046x_H+0.023x_P+0.034C$$

Paso 8 8 de 15

Terreno total disponible: lote base 50 acres + lo que ganamos al comprar ruinas:$$T=50+0.25R$$

Paso 9 9 de 15

Solo el 85% es usable para lotes (15% se va a calles/estacionamiento):$$\text{Área usable}=0.85T$$

Paso 10 10 de 15

Área usada por todo (lotes de vivienda + escuela + comercio):$$0.05x_L+0.07x_M+0.03x_H+0.025x_P+0.045C+0.10K\le 0.85(50+0.25R)$$

Paso 11 11 de 15

Objetivo: maximizar ingreso anual de rentas menos costos anuales (escuela) y el costo de comprar/demoler ruinas:$$\max Z=7000x_L+12000x_M+20000x_H+5000x_P+15000K-10000C-7000R$$

Paso 12 12 de 15

Al resolver (con variables enteras para unidades), el óptimo es:$$x_L=101,\quad x_M=125,\quad x_H=226,\quad x_P=300$$$$C=33,\quad K=25,\quad R=0$$

Paso 13 13 de 15

Interpretación: se ponen los mínimos en bajos, medianos y populares, y se invierte el resto del terreno en viviendas de altos ingresos y en el máximo de comercio.

Paso 14 14 de 15

Ingreso máximo:$$Z=8272000$$

Resultado 15 de 15

$$\boxed{ \begin{aligned}x_L &= 101 & x_M &= 125 \\ x_H &= 226 & x_P &= 300 \\ C &= 33 & K &= 25 \\ R &= 0 & Z_{\max} &= 8272000\end{aligned} }$$