Enunciado
Demuestre (a) que en un proceso a volumen constante, $dS/dU=1/T$ y (b) que en un proceso en que no cambia la energÃa interna del sistema, $dS/dV=P/T$
Solución Paso a Paso
Verificado
Paso 1 1 de 10
Partimos de la identidad termodinámica (para un sistema simple compresible):$$dU=T\,dS-P\,dV$$
Paso 2 2 de 10
Inciso (a): volumen constante significa $dV=0$.
Paso 3 3 de 10
Sustituimos $dV=0$ en $dU=T\,dS-P\,dV$:$$dU=T\,dS$$
Paso 4 4 de 10
Despejamos:$$dS=\frac{dU}{T}$$
Paso 5 5 de 10
Entonces:$$\frac{dS}{dU}=\frac{1}{T}$$
Paso 6 6 de 10
Inciso (b): si la energÃa interna no cambia, entonces $dU=0$.
Paso 7 7 de 10
Ponemos $dU=0$ en la identidad:$$0=T\,dS-P\,dV$$
Paso 8 8 de 10
Despejamos:$$T\,dS=P\,dV\Rightarrow dS=\frac{P}{T}\,dV$$
Paso 9 9 de 10
Por lo tanto:$$\frac{dS}{dV}=\frac{P}{T}$$
Resultado 10 de 10
$$\boxed{(a)\ dS/dU=1/T\, \text{(a }V\text{ constante)};\quad (b)\ dS/dV=P/T\, \text{(si }dU=0).}$$