Ejercicio A05

Leemos la tabla y formamos pares ordenados $(x,y)$: a cada valor de $x$ le corresponde un valor de $y$.

Los puntos son: $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$, $(3,9)$, $(4,16)$, $(5,25)$, $(6,36)$, $(7,49)$, $(8,64)$.

Si observamos los números, notamos un patrón: $0^2=0$, $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$... Entonces la regla es $y=x^2$.

Para graficar, ponemos $x$ en el eje horizontal y $y$ en el eje vertical; luego marcamos cada punto.

Después, unimos los puntos suavemente para ver la forma general. Como $y=x^2$, la curva es una parábola que se abre hacia arriba.

Para decidir si la relación es positiva o negativa, miramos qué pasa cuando $x$ aumenta.

Cuando $x$ sube de $0$ a $8$, $y$ también sube de $0$ a $64$; es decir, ambos se mueven en el mismo sentido.

Eso significa que la relación es positiva: a mayor $x$, mayor $y$.

Ahora pensamos en la pendiente como “qué tan rápido sube $y$” cuando avanzamos en $x$.

Calculamos los cambios en $y$ cuando $x$ aumenta en $1$: $1-0=1$, $4-1=3$, $9-4=5$, $16-9=7$, $25-16=9$, $36-25=11$, $49-36=13$, $64-49=15$.

Estos cambios $1,3,5,7,9,11,13,15$ van creciendo. Entonces, la pendiente aumenta conforme $x$ aumenta.

Dicho con una regla: si $y=x^2$, su pendiente instantánea es $\frac{dy}{dx}=2x$, y como $2x$ crece cuando $x$ crece, la pendiente crece.

Para pensar en relaciones económicas parecidas, buscamos casos donde al aumentar una variable, la otra aumenta cada vez más rápido.

Ejemplo 1: costos por horas extra. Si una empresa produce más, puede necesitar horas extra; al principio cuesta poco, pero después cada unidad extra cuesta mucho más (costos marginales crecientes).

Ejemplo 2: congestión. Cuando el número de autos aumenta, el tiempo perdido en tráfico aumenta, y a niveles altos de tráfico el tiempo perdido crece muy rápido.

Ejemplo 3: daños por contaminación. A bajas emisiones el daño puede ser pequeño, pero a niveles altos el daño total puede crecer más que proporcionalmente.

Resumimos las respuestas de a), b) y c) en una sola conclusión.

$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) Positiva: al aumentar }x\text{, aumenta }y.\\ &\text{b) La pendiente aumenta cuando }x\text{ aumenta (crece cada vez más rápido).}\\ &\text{c) Ejemplos: costos marginales crecientes, congestión vs. autos, daños por contaminación vs. emisiones.}\end{aligned}}$$