Ejercicio 03

Primero anotamos la tabla de costos totales $CT$ y la producción $Q$ (pizzas por hora). También recordamos que Patricia es tomadora de precios, así que el precio $P$ le llega dado por el mercado.

Separamos costo fijo y costo variable. El costo fijo es el costo cuando $Q=0$: $$CF=CT(0)=10$$

El costo variable es $$CV(Q)=CT(Q)-CF$$. Calculamos: $CV(1)=11$, $CV(2)=20$, $CV(3)=31$, $CV(4)=44$, $CV(5)=59$.

El costo variable medio es $$CVM=\frac{CV}{Q}$$ (solo si $Q>0$).

Calculamos $CVM$: $$\begin{aligned}&Q=1:\\ CVM=\frac{11}{1}=11\\ &Q=2:\\ CVM=\frac{20}{2}=10\\ &Q=3:\\ CVM=\frac{31}{3}\approx 10.33\\ &Q=4:\\ CVM=\frac{44}{4}=11\\ &Q=5:\\ CVM=\frac{59}{5}=11.8\end{aligned}$$

El punto de cierre es donde $P=\min(CVM)$. Aquí $\min(CVM)=10$ (ocurre en $Q=2$).

Ahora calculamos el costo marginal: $$CMg=\Delta CT$$ al aumentar $Q$ en $1$.

Así: $$\begin{aligned}&CMg_1=21-10=11\\ &CMg_2=30-21=9\\ &CMg_3=41-30=11\\ &CMg_4=54-41=13\\ &CMg_5=69-54=15\end{aligned}$$

Para maximizar utilidad, comparamos la utilidad $$\pi=P\cdot Q-CT(Q)$$ para cada $Q$ y elegimos la mayor (si $P\ge 10$; si $P<10$, conviene cerrar).

Caso (i) $P=14$: $$\begin{aligned}&Q=1:\pi=14-21=-7\\ &Q=2:\pi=28-30=-2\\ &Q=3:\pi=42-41=1\\ &Q=4:\pi=56-54=2\\ &Q=5:\pi=70-69=1\end{aligned}$$ La mayor es $2$ en $Q=4$.

Caso (ii) $P=12$: $$\begin{aligned}&Q=1:\pi=12-21=-9\\ &Q=2:\pi=24-30=-6\\ &Q=3:\pi=36-41=-5\\ &Q=4:\pi=48-54=-6\\ &Q=5:\pi=60-69=-9\end{aligned}$$ La mayor es $-5$ en $Q=3$.

Caso (iii) $P=10$: como $P=\min(CVM)$, Patricia es indiferente entre producir o cerrar; si produce, la mejor opción por tabla es $Q=2$: $$\pi=10\cdot 2-30=-10$$ (igual a $-CF=-10$).

La curva de oferta de corto plazo de una empresa competitiva es su $CMg$ por encima del punto de cierre ($P\ge 10$). Como aquí los datos son discretos, la oferta es “escalonada”.

Para decidir el escalón, elegimos el $Q$ que maximiza $\pi$ a cada rango de precios. Con los $CMg$ calculados se obtiene:

• Si $P<10$: $Q=0$.
• Si $10\le P<11$: $Q=2$.
• Si $11\le P<13$: $Q=3$.
• Si $13\le P<15$: $Q=4$.
• Si $P\ge 15$: $Q=5$.

Para el largo plazo importa el costo total medio $$CTM=\frac{CT}{Q}$$ Si $P<\min(CTM)$ las empresas no cubren todos sus costos y salen.

Calculamos $CTM$: $$\begin{aligned}&Q=1:\\ CTM=\frac{21}{1}=21\\ &Q=2:\\ CTM=\frac{30}{2}=15\\ &Q=3:\\ CTM=\frac{41}{3}\approx 13.67\\ &Q=4:\\ CTM=\frac{54}{4}=13.5\\ &Q=5:\\ CTM=\frac{69}{5}=13.8\end{aligned}$$

El mínimo $CTM$ es $13.5$ (en $Q=4$).

Entonces, si $P<13.5$ hay pérdidas en largo plazo y salen empresas; si $P>13.5$ hay ganancias y entran empresas; si $P=13.5$ hay ganancia cero.

$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) }P=14:\\ Q^*=4,\\ \pi=2.\quad P=12:\\ Q^*=3,\\ \pi=-5.\quad P=10:\\ Q^*=2\\ \text{o cierre, }\pi=-10.\\ &\text{b) Punto de cierre: }P_{cierre}=10.\\ &\text{c) Oferta (CP): }P<10:Q=0;\\ 10\le P<11:Q=2;\\ 11\le P<13:Q=3;\\ 13\le P<15:Q=4;\\ P\ge 15_Q=5.\\ &\text{d) Salen (LP) si }P<13.5.\quad\text{e) Entran (LP) si }P>13.5.\end{aligned}}$$