Enunciado

La empresa Aguas Minerales Aguirre, un monopolio de precio único, enfrenta el siguiente plan de demanda (precio en dólares por botella; cantidad demandada en botellas por hora):

  • $10\to 0$
  • $8\to 1$
  • $6\to 2$
  • $4\to 3$
  • $2\to 4$
  • $0\to 5$
  1. Calcule el plan de ingreso total.
  2. Calcule el plan de ingreso marginal.
  3. Trace una gráfica que incluya la curva de demanda y la curva de ingreso marginal.
  4. ¿Por qué el ingreso marginal es menor que el precio?
  5. ¿A qué precio se maximiza el ingreso total?
  6. ¿En qué rango de precios es elástica la demanda?
  7. ¿Por qué Aguas Minerales Aguirre no produce una cantidad a la que la demanda sea inelástica?

Solución Paso a Paso

Verificado
Paso 1 1 de 19

Un monopolio de precio único cobra un solo precio a todos. Por eso, si quiere vender más, normalmente debe bajar el precio.

Paso 2 2 de 19

(a) El ingreso total es $$IT=P\cdot Q$$ en cada punto de la tabla.

Paso 3 3 de 19

Calculamos: $$\begin{aligned}&Q=0:\\ IT=10\cdot 0=0\\ &Q=1:\\ IT=8\cdot 1=8\\ &Q=2:\\ IT=6\cdot 2=12\\ &Q=3:\\ IT=4\cdot 3=12\\ &Q=4:\\ IT=2\cdot 4=8\\ &Q=5:\\ IT=0\cdot 5=0\end{aligned}$$

Paso 4 4 de 19

(b) El ingreso marginal es el cambio en ingreso total cuando vendemos 1 botella más: $$IM=\Delta IT$$

Paso 5 5 de 19

Así: $$\begin{aligned}&IM_1=8-0=8\\ &IM_2=12-8=4\\ &IM_3=12-12=0\\ &IM_4=8-12=-4\\ &IM_5=0-8=-8\end{aligned}$$

Paso 6 6 de 19

(c) La demanda es una recta: de $(Q,P)=(0,10)$ a $(5,0)$, o sea $$P=10-2Q$$

Paso 7 7 de 19

Para una demanda lineal, el ingreso marginal es otra recta con la misma intersección pero el doble de pendiente: $$IM=10-4Q$$

Paso 8 8 de 19

Inserte la gráfica (contenedor aquí; código en JSXGraph):

Paso 9 9 de 19

(d) $IM$ es menor que $P$ porque para vender una unidad extra el monopolio baja el precio de todas las unidades, no solo de la nueva.

Paso 10 10 de 19

Es como si para vender 1 botella más tuvieras que hacer descuento también en las botellas anteriores; eso resta ingreso, por eso $IM

Paso 11 11 de 19

(e) El ingreso total es máximo donde $IM=0$ (ya no sube ni baja). En la tabla, $IM=0$ al pasar a $Q=3$.

Paso 12 12 de 19

Vemos que el máximo $IT=12$ ocurre en $Q=2$ con $P=6$ y también en $Q=3$ con $P=4$ (empate).

Paso 13 13 de 19

Entonces el ingreso total se maximiza con un precio en el rango $4$ a $6$; con esta tabla, $P=6$ o $P=4$ dan el máximo.

Paso 14 14 de 19

(f) En una demanda lineal, la demanda es elástica por encima del punto medio (donde $IT$ crece) y inelástica por debajo (donde $IT$ cae).

Paso 15 15 de 19

Aquí el punto medio está cerca de $P=5$ (entre $6$ y $4$). Entonces es elástica aproximadamente cuando $P>5$ (por ejemplo $10,8,6$) e inelástica cuando $P<5$ (por ejemplo $4,2,0$).

Paso 16 16 de 19

(g) Un monopolio no produce donde la demanda es inelástica porque allí $IM<0$.

Paso 17 17 de 19

Si $IM<0$, vender una unidad extra baja el ingreso total, así que no tiene sentido producir más (y si hay costos, peor).

Paso 18 18 de 19

Por eso el monopolio elige una cantidad donde la demanda es elástica (donde $IM\ge 0$).

Resultado 19 de 19

$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) }IT=(0,8,12,12,8,0).\\ &\text{b) }IM=(8,4,0,-4,-8)\\ \text{para }Q=1\text{ a }5.\\ &\text{d) }IM5;\\ \text{inelástica aprox. }P<5.\\ &\text{g) No produce en inelástica porque }IM<0.\end{aligned}}$$