Enunciado
Considere el juego: hay $2$ jugadores y a cada uno se le hace una pregunta. Los jugadores pueden contestar con sinceridad o pueden mentir.
- Si ambos contestan con sinceridad, cada uno recibe $100$ dólares.
- Si uno contesta con sinceridad y el otro miente, el que miente recibe $500$ dólares y el que no miente no recibe nada.
- Si ambos mienten, cada uno recibe $50$ dólares.
- Describa las estrategias y recompensas de este juego.
- Elabore la matriz de recompensas.
- ¿Cuál es el punto de equilibrio de este juego?
- Compare este juego con el dilema de los prisioneros. ¿Son ambos juegos similares o diferentes? Explique su respuesta.
Solución Paso a Paso
Primero identificamos las estrategias. Cada jugador puede elegir una de dos acciones: Decir la verdad o Mentir.
También identificamos las recompensas (pagos) para cada combinación de decisiones.
(a) Estrategias:
- Jugador 1: $\{\text{Sincero},\ \text{Miente}\}$
- Jugador 2: $\{\text{Sincero},\ \text{Miente}\}$
Recompensas: son los dólares que recibe cada jugador según lo que ambos hagan.
(b) Matriz de recompensas (Jugador 1, Jugador 2):
- Si ambos son sinceros: $(100,100)$.
- Si Jugador 1 miente y Jugador 2 es sincero: $(500,0)$.
- Si Jugador 1 es sincero y Jugador 2 miente: $(0,500)$.
- Si ambos mienten: $(50,50)$.
Ahora buscamos el equilibrio de Nash: cada jugador elige su mejor respuesta dado lo que hace el otro.
Si el otro es sincero, yo comparo: ser sincero me da $100$ y mentir me da $500$. Prefiero mentir.
Si el otro miente, yo comparo: ser sincero me da $0$ y mentir me da $50$. Prefiero mentir.
Entonces mentir es una estrategia dominante: es mejor sin importar lo que haga el otro.
Si ambos piensan igual, el resultado será (Miente, Miente) con pago $(50,50)$. Ese es el equilibrio.
(d) Comparación con dilema del prisionero:
En el dilema del prisionero típico, cada uno tiene una estrategia dominante (confesar/traicionar) y el equilibrio da un resultado peor para ambos que cooperar.
Aquí pasa lo mismo: cooperar (ser sincero) da $(100,100)$, pero el equilibrio por estrategia dominante es $(50,50)$, que es peor para ambos.
Así que este juego sí es un dilema del prisionero en forma: hay tentación de “traicionar” (mentir), cooperación mutua es mejor, pero el equilibrio es no cooperar.
$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) Estrategias: Sincero o Miente para cada jugador; pagos según la combinación.}\\ &\text{b) Matriz: }(S,S)=(100,100),\\ (M,S)=(500,0),\\ (S,M)=(0,500),\\ (M,M)=(50,50).\\ &\text{c) Equilibrio: }(M,M)\\ \text{porque mentir es dominante.}\\ &\text{d) Es un dilema del prisionero: cooperación }(100,100)\text{ mejor, pero equilibrio }(50,50).\end{aligned}}$$