Enunciado
El costo marginal de la educación de un estudiante es de $4000$ dólares al año y es constante. La figura muestra la curva de beneficio marginal privado (demanda) de la educación.
- Si el gobierno no se involucra y las escuelas son competitivas, ¿cuántos estudiantes estarán inscritos y a cuánto asciende la colegiatura?
- El beneficio externo de la educación es de $2000$ dólares por estudiante al año y es constante. Si el gobierno proporciona la cantidad eficiente de educación, ¿cuántos alumnos ofrece esta educación en las escuelas y cuál es el monto de la colegiatura?
Solución Paso a Paso
Leemos la demanda (beneficio marginal privado) como una recta que baja desde $6000$ a $2000$ cuando $Q$ sube de $0$ a $50$ miles de estudiantes por año.
Entonces una ecuación sencilla es $$P=6000-80Q,$$ donde $Q$ está en miles de estudiantes por año y $P$ en dólares por estudiante al año.
El costo marginal (oferta competitiva) es constante: $$CM=4000.$$
(a) En competencia sin gobierno, el equilibrio privado es donde $$BM_{priv}=CM$$
$$6000-80Q=4000\Rightarrow 80Q=2000\Rightarrow Q=25.$$
La colegiatura (precio) en ese equilibrio es $$P=4000.$$
(b) Beneficio externo constante $=2000$ significa que el beneficio marginal social es $$BM_{soc}=BM_{priv}+2000=(6000-80Q)+2000=8000-80Q$$
La cantidad eficiente cumple $$BM_{soc}=CM$$
$$8000-80Q=4000\Rightarrow 80Q=4000\Rightarrow Q=50.$$
Para que el mercado elija $Q=50$ usando la demanda privada, el gobierno puede dar un subsidio por estudiante de $2000$.
AsÃ, el estudiante paga $$P_{est}=CM-2000=2000$$ y el gobierno paga $2000$ por estudiante.
$$\boxed{\begin{aligned}&\text{a) }Q=25\\ \text{mil estudiantes/año y colegiatura }=4000.\\ &\text{b) Cantidad eficiente }Q=50\\ \text{mil; colegiatura pagada por el estudiante }=2000\\ \text{(subsidio }2000).\end{aligned}}$$